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德国最有影响力的十位数学家

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发表于 2021-7-4 22:24:42 | 显示全部楼层 |阅读模式
本帖最后由 cse 于 2021-7-4 22:26 编辑

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德国最有影响力的十位数学家

guyuybuybuyu










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放学梦宇
百家号07-2009:54


德国近现代历史上曾经诞生了许多伟大数学家,特意挑选出其中个人觉得最优秀的十位数学家,本文近代表个人观点,不喜勿喷。欢迎大家踊跃讨论,哈哈。

NO10 康托尔
等级: 天才
类型:创造性突破
代表性成果:
1.集合论
2.超穷数理论
简评: 最具有革命性的数学家 康托尔,两千多年来,科学家们接触到无穷,却又无力去把握和认识它,这的确是向人类提出的尖锐挑战。康托尔以其思维之独特,想象力之丰富,方法之新颖绘制了一幅人类智慧的精品——集合论和超穷数理论,令19、20世纪之交的整个数学界、甚至哲学界感到震惊。可以毫不夸张地讲,“关于数学无穷的革命几乎是由他一个人独立完成的。”
而他创立的集合论,已经成为了现代数学基础理论大厦。

NO9 外尔
等级: 天才
类型: 大师
代表性成果:
1.群论
2.积分方程
3.黎曼曲面
简评:希尔伯特 的继承人,对表示论,李群李代数,微分拓扑,复几何等分支都有奠基性贡献。由于数学各学科研究越来越广泛而深入,庞加莱,希尔伯特去世后,因而现代已经没有在数学所有领域都通的数学家了,外尔被称为上世纪上半叶出现的最后一位“全能数学家”。

NO8. 狄利克雷
等级: 天才
类型:开创性突破
代表性成果:
1.解析数论(创始人)
2.数学分析
3.数学物理
简评: 狄利克雷在数学和力学两个领域都做出了名垂史册的重大贡献,尤以分析、数论、位势论为最。
“狄利克雷是一位极有洞察力的数学家,给出了现代函数概念的精确解释"。并提出新的单值函数概念,还提出所谓“狄利克雷函数”、所谓“狄利克雷积分”等。他还在位势论、热学、磁学、数学物理等方面也有一些创造。
并提出新的单值函数概念,还提出所谓“狄利克雷函数”、所谓“狄利克雷积分”等。他还在位势论、热学、磁学、数学物理等方面也有一些创造。

NO7. 雅可比
等级: 超天才
类型: 大师
代表性成果:1.代数学
2.椭圆函数论
3.复变函数论
简评: 雅可比对数学具有非常深刻的洞察力,用天才已经无法形容他的数学天赋,他可怕的心算能力历史上估计仅次于欧拉。他的工作包括代数学、变分法、数学分析,复变函数论和微分方程,以及数学史的研究。将不同的数学分支连通起来是他的研究特色。他不仅把椭圆函数论引进数论研究中,得到了同余论和型的理论的一些结果,还引进到积分理论中。而积分理论的研究又同微分方程的研究相关联。此外,尾乘式原理也是他提出的。
现代数学许多定理、公式和函数恒等式、方程、积分、曲线、矩阵、根式、行列式以及许多数学符号都冠以雅可比的名字,可见雅可比的成就对后人影响之深。


NO6. 魏尔斯特拉斯
等级: 超天才
类型: 史诗性突破
代表性成果:
1.数学分析(现代分析学之父)
2.微积分严格化
3.复变函数论
4.提出ε-N语言和ε-δ语言
简评: 老魏是一位具有深刻洞察力和观察力的超级数学天才,以ε-δ语言,系统建立了实分析和复分析的基础,基本上完成了分析的算术化和严格化,被誉为"现代分析之父"。
并且为微积分严格化,做出了史诗性贡献,通过澄清极小、极大、函数、导数等概念,他排除了在微积分中仍在出现的各种错误提法,扫清了关于无穷大、无穷小等各种混乱观念,决定性地克服了源于无穷大、无穷小朦胧思想的困难。
今天,分析学能达到这样和谐可靠和完美的程度本质上应归功于魏尔斯特拉斯的科学活动”。
NO5. 诺特
等级: 超天才
类型:革命性突破
代表成果:
1.抽象代数 (抽象代数之母)
2.诺特定理
3.数学物理
简评: 她的研究领域为抽象代数和理论物理学。她善于藉透彻的洞察建立优雅的抽象概念,再将之漂亮地形式化,她彻底改变了环、域和代数的理论。
她从不同领域的相似现象出发,把不同的对象加以抽象化、公理化,然后用统一的方法加以处理,完成了《环中的理想论》这篇重要论文。这是一项非常了不起的数学创造,它标志着抽象代数学真正成为一门数学分支,或者说标志着这门数学分支现代化的开端。诺特也因此获得了极大的声誉,被誉为是“现代数学代数化的伟大先行者”,“抽象代数之母”。

NO4 .莱布尼茨
等级: 准神
类型: 百科全书式数学家
代表性成果:
1.微积分(创始人)
2.数理逻辑
3.数学符号
4.拓扑学
简评: 德国哲学家、数学家,历史上少见的通才,被誉为十七世纪的亚里士多德。
莱布尼茨几乎精通他所处时代所有数学分支,拓扑学这个当代最难的数学分支之一,最早就是他提出的。他发明的微积分比牛顿的简单先进,他的微积分和数学符号在世界几乎占有统治地位。。。。。。

NO3 .希尔伯特
等级: 准神
类型: 数学界无冕之王
代表性成果:
1.不变量理论
2.代数数域理论
3.几何学
简评: 作为20世纪的数学教父,他的伟大成就几乎遍及当时所有数学分支,对基础数学都做出了开创性贡献。
他于1900年8月8日在巴黎第二届国际数学家大会上,提出了新世纪数学家应当努力解决的23个数学问题,被认为是20世纪数学的至高点,对这些问题的研究有力推动了20世纪数学的发展,在世界上产生了深远的影响。希尔伯特领导的数学学派是19世纪末20世纪初数学界的一面旗帜,希尔伯特被称为“数学界的无冕之王”,他是天才中的天才。
关于与庞加莱的学术竞争?
与庞加莱并称的现代双子星,就算不如高斯,欧拉这些教主,希尔比特数学成就也几乎是护法级别的。
论社会公众影响力,教父要超过庞加莱,23个数学问题奠定教父全球数学领袖的地位,他的徒子徒孙遍布数学各个领域;但持平而论,在纯数学学术成就上,要比庞加莱逊色半筹,最重要的是,希尔伯特追求的公理化体系这个他认为最重要的成就被击碎,输给了庞加莱的光辉直觉体系,因此在学术上,最终希尔伯特是不如庞加莱来的重要,在20世纪数学家影响力要排在庞加莱之后。
PS: 下面出场的两个重量级人物,不仅仅局限于德国,反而有绝对实力可以争世界NO1数学家荣耀的贵冠,所以我想从世界角度去写,而且值得我要大写特写。

NO2. 高斯
级别:神
类型:统治时代
代表性成果:
1.算术探索(初等数论集大成者,代数数论萌芽,18世纪最伟大的数学著作,不解释)
2.曲面内蕴微分几何(黎曼几何的重要源头,微分几何奠基之作,非欧几何代表工作之一,启发现代几何学)
3.概率论正态分布
4.高斯绝妙定理
5.高斯电磁定律
简评:做为古典数学集大成者,现代数学的重要启发者和奠基人,王子的成就覆盖了数学各个分支,公认的数论史上第一人,几何学史上top5,初等数论集大成者,代数数论萌芽始祖,现代微分几何鼻祖,对概率论作出重大贡献,并且在非欧几何,代数数论,椭圆函数论,椭圆积分作出早期系列工作,并且在电磁学,大地测量学,天文学等取得不凡成绩。
王子的学术成就遍布数学各个领域和分支,并且极具深度与完成度,毫无疑问,在一切时代,高斯都是史上最伟大的数学家之一!尤其在学术广度,全面度以及公众影响力,以及数学史地位,高斯基本上都是公认的数学之王,历史第一人。
但是,我们如果从个人学术成就的意义,开创性,重要性以及对数学本身以及后世的影响力,辐射力来说,高斯绝不是史上第一人,甚至前三都排不到了。
论学术成就与深度,开创性,高斯和黎曼差距太远,无法相提并论,高斯差了黎曼至少两到三个档次,基本不是一个档次的数学家了。
和庞加莱相比,两者都兼具全面性与广度,而且在深度和完成度上都差不多,但庞加莱拓扑学难度超越高斯太多,而且拓扑学对现代物理的渗透力远超高斯的物理渗透力,而且庞加莱独力构建的拓扑学这个数学中心结构,王子没有任何一项成就能与之相比,所以王子不如庞加莱,差了半个到一个档次吧。
就数学成就来说,实际上高斯与欧拉,希尔伯特,格罗滕迪克差不多,而且就单个数学成就而言,高斯甚至不如伽罗华,阿贝尔!但高斯占了时代的因素,在他的那个时代作出如此具有广泛与全面性的成就,在学术成就差不多的前提下,王子比希尔伯特,诺特,格罗滕迪克早了近百年,确实可敬可佩,所以将王子排在德国第二,世界第二。
但可以肯定,在未来的进程中,高斯的学术排名与影响,必定会进一步降低,随着代数几何与群论,表示论,几何化朗兰兹的进一步发展,会感受到格罗滕迪克,庞加莱,希尔伯特三人的伟大,他们的学术成就排名在未来有极大可能超越高斯!而且不排除(是肯定)在未来会出现更强的数学家,所以高斯这个世界第二的位置是不稳的。
但高斯在严密性和抽象性上要超过欧拉,而在深度和完成度上以及全面度上要胜过阿贝尔和伽罗华,所以目前暂时排在世界第二位还是合适的。

在来谈谈高斯的伟大之处:
1.数学史上天智全才,广度与厚度无人能及!王子是与欧拉并肩,甚至在抽象性与严格化超越欧拉的数学史第一全才,在他的时代,数论当之无愧的史上第一,几何史上top5,在代数领域也做了阿贝尔,伽罗华之前的最强的成就,在分析领域,也仅次于魏尔斯特拉斯,柯西,黎曼,阿贝尔等几人能稍微领先他。换言之,在1840年以前,王子是绝对的统治时代的人物,也是牛顿,欧拉之后又一个统治时代的数学家。在1840年以前,高斯在数论,几何,代数,分析四大数学领域里均做出了当时最顶尖的成就,无人能及!无论是阿贝尔伽罗华,还是魏尔斯特拉斯雅可比,无疑都是他的学生辈了,虽然后来者在某些领域超越了高斯,但高斯拥有自己完整的统治时代,毫无疑问!王子的全面性从纵横时代来讲,都当之无愧的史上第一。黎曼庞加莱在代数领域偏弱,格罗滕迪克希尔伯特,庞加莱,阿贝尔,伽罗华几何拓扑方面偏弱,欧拉在整体严密性和抽象化严格化上不如王子,柯西在成果的重要性上和高斯差距明显!换言之,在1840年代群论和椭圆函数论逐渐崭露头角大放异彩之前,高斯是史上第一人毫无争议。
2.早慧的传奇,领先时代的神话!高斯早慧的传说早已名垂千古,为他的公众影响力带上耀眼的光环,19岁的时候,就超越了法国3L数学家的成就与地位,年纪轻轻就登上数学神坛,成为当时数学家膜拜的至高偶像,声誉权威威望与地位无人能及!甚至直到今天,还是有许多专业或业余数学家与爱好者认为高斯是史上第一!
3.高斯的数学笔记,无疑是他又一个灿烂数学生涯的最好注脚!王子去世后整理出来的笔记,里面许多结论甚至在当时都是很卓越的成果,而这些成果都是在1814年以前完成的,里面囊括了数论,分析,几何,代数各个分支的成果,而且都是当时最领先的东西,研究了高次代数方程,分圆方程,甚至发现了椭圆函数双周期性,这些成果,直到阿贝尔,伽罗华出现之前都是领先的,而阿贝尔,伽罗华的理论被认可,差不多已经是1840至50年代以后了,换言之,高斯这些未发表的笔记论著,领先了时代数十年,如果高斯不是因为追求完美,而把这些遗著当时也发表了,可以让数学研究直接在他的基础上,至少前进四五十年!
这也是高斯伟大的数学生涯令人惊骇智力表现!
4.王子为人冷漠,不喜欢也不擅长教学,虽然有许多顶级数学家组成的豪华粉丝团,但在传道方面却难称出色。
但是,高斯有一个名字照耀千古的史上最强数学家弟子黎曼!虽然黎曼受高斯教导影响不大,与高斯并无多少接触,但从哥廷根的系统来说,黎曼可算是高斯的嫡系门生了。在黎曼博士论文和就职演说两项数学史上最伟大最灿烂的篇章中,高斯都给予黎曼最大的支持和最高的赞美!
伟大高斯不足之处
1.最大的不足:19世纪近现代数学最重要的标志性的成果,没有一个是王子独立开创的!近现代数学的标志性成果,黎曼几何、非欧几何、群论、椭圆函数论、复分析、分析基础严格化、复变函数论等等,没有一项是由高斯创立的!虽然高斯几乎在所有领域都作出了杰出的贡献,但他不是决定性的人物,群论归功于伽罗华和阿贝尔,椭圆函数论上阿贝尔,雅可比的工作超越了高斯,复分析与分析基础严格化以及复变函数论成就最大的是黎曼,柯西,魏尔斯特拉斯,虽然高斯被认为是非欧几何创始人之一,但他没有公开发表论文,而且完成度不如罗巴切夫斯基,鲍耶,虽然高斯引入曲率和测地线成为现代微分几何的奠基人,但将非欧几何、微分几何、椭圆几何大一统的黎曼几何是黎曼创立的,即使在高斯最强的数论领域,高斯所有数论的著作,没有一篇比得上黎曼猜想这篇仅仅八页纸的论文来的重要!
而且高斯也只是统治了初等数论,对代数数论,解析数论贡献不大,甚至不如黎曼,戴德金,狄利克雷!几乎在十九世纪近现代所有最重要数学标志性成果,竟然没有一项的发明权是属于高斯的!很惊异吧?在很多人眼里史上第一的数学家,竟然没有一项成果可以跻身19世纪最重要的顶级成果的行列!
这就尴尬了!换言之,说来会沉重伤害众多高斯粉脆弱的心灵,那就是,高斯明显被高估了,尤其是在学术成就上!高斯远远没有达到所谓从九霄云外把控数学的地步!这么吹嘘高斯的粉丝恐怕除了是**之外,要么是根本不知道高斯做过什么工作,要么是根本不知道别的学者做过一些什么工作!
所以,高斯在学术成就的排位上,必定会持续下降!毫无疑问!从广度与厚度以及全面性来看,高斯无疑可以说是史上第一人,可以说,高斯一个人做到了很多人一起做到的工作,堪称智力奇迹,但论及深度,精度,开创性,洞察力,颠覆性,高斯显然就逊色了。其实,在1854年高斯听了黎曼关于几何基础的就职演讲的那一天,王子就已经被黎曼远远超越了!那一天开始,王子就已经不是史上最佳了!因为高斯的众多学术成果中,找不到任何一项可以列入最顶级的行列,这个不足决定了王子实际上是被过誉了!
2.关于高斯的数学笔记!
这既是高斯的一大亮点,同时也是最大的黑点之一!无可否认,高斯去世后整理出来的笔记,即使在当时看来都是很出色的工作,如果早发表出来,至少推动数学提早三四十四五十年!但问题是,在高斯的生前并未公开发表这些成果!因为高斯追求完美的性格,所以没有发表,什么意思,就是说,高斯笔记的成果,实际上并不完美,还有很多不足!高斯研究了高次方程解问题,但发现群论的功绩属于伽罗华,阿贝尔。高斯发现了椭圆函数双周期性,但阿贝尔,雅可比在椭圆函数上的工作比高斯要深刻的多!高斯有了非欧几何的思想,但完成度不如罗巴切夫斯基和鲍耶!
高斯苦思一生没有解决的几何基础问题,在他生前已经被黎曼解决!最小二乘法和二次互反率勒让德也发现了,正态分布发明权高斯必须与棣莫弗,拉普拉斯分享,等等等等……
什么意思呢?意思就是说,实际上,就是因为高斯没有当时第一时间发表这些成果,而实际上已经被同时代的人做出或超越了!换句话说,有没有高斯这些成果照样都会出现,高斯对这些数学成果的诞生影响不大。
高斯笔记在高斯去世之后正式出版的时候,这些成果实际上已经过时了,已经不算是前沿的东西了!一些王子**粉一脸崇拜喋喋不休说什么高斯遗著笔记多么伟大,可笑,实际上,说这些笔记出版的时候,已经一文不值,这有点伤人,但实际情况差不多就是这样。尤其对专业数学家而言,高斯的遗著笔记当然还是有很多启发,但基本已经不是前沿的东西了,几何的发展沿着黎曼的思想,代数群论的发展沿着阿贝尔,伽罗华的思想,分析与幂级数的发展随着魏尔斯特拉斯,柯西的思想发展,数论沿着狄利克雷,黎曼,戴德金的思想为主发展,数学界最重要的发展,跟高斯笔记甚至高斯本人其实关联已经不是很紧密了。
高斯笔记体现的是高斯全才与早慧,体现了高斯惊人的天赋所在,但即使高斯正式发表的完成度极高的论文都没有堪称最顶级的开创性成果,何况笔记这些完成度不够有缺陷的成果呢?
吹捧高斯没问题,高斯也曾经是我的偶像,我也是高斯的脑残粉,但切忌胡吹海捧,高斯不是万能的, 正是因为这些笔记没有第一时间发表,所以导致了每个分支都已经被同时代或学生辈的数学家超越,基本渣渣都不剩多少了,完全没有发挥和体现出应有的影响力,这个也是数学史上的一大遗憾!
如果这些笔记在写出来当时就发表,即使有缺陷,也依然奇怪最前沿的,并且足以引导后人更进一步,大大提升数学史的进程,毫无疑问!问题是高斯笔记内容当它发表时,已经被超越了!
高斯遗著笔记体现了他惊人的全才,早慧,个人能力,天分,相当于他一个人就做了当时大部分顶尖数学家的成就,何等惊人的智力!但是就学术意义,实际上高斯遗著笔记并没有太大的价值,尤其对于十九二十世纪的近现代数学而言,可以忽略不计!这也大大减弱了高斯应得的实际形象力和学术地位!
3.高斯以早慧闻名于世,少年天才,流传百代!但纵观高斯生涯,早年卓绝,但到了晚年却显得没那么灵光了。做为当时时代的领先因素,早慧的传奇,在数学各个分支均作出卓越贡献,全才程度无与伦比,从整体学术成就来看,高斯是数学史上一座里程碑,古典数学的集大成者,统治18世纪后半期到19世纪前半期数学的学者,高斯肯定是史上最强数学家之一!但随着数学的进展,尤其是19世纪对后世影响最大的启发现当代数学的最伟大的一系列标志性成果,几乎没有一项是由高斯创立完成的,几何,分析,代数,甚至数论某些领域,所有分支在高斯生前就都已经被其他学者弯道小超车了,这个黑点高斯无论如何没法越过,这点和牛顿完全统治17世纪,欧拉完全统治18世纪,有些差距,论时代统治力,高斯不如牛顿欧拉,而且在洞察力,创造力,颠覆性方面,高斯比起同时代的黎曼,阿贝尔,伽罗华以及后世的庞加莱要逊色不少,比起后世的格罗滕迪克,希尔伯特没什么优势,即使是在高斯还活着的生前,他就已经被黎曼全面超越了。所以注定了高斯绝不可能是数学史上第一人! 个人把高斯排在第二的位置,从各种学术因素综合考虑,目前来说还是勉强靠得住的。因为比起欧拉,实际上,横向时代的视角来看,王子与欧拉综合学术成就半斤八两,而且相比高斯对19世纪的时代统治力,欧拉在18世纪的统治力显然更有说服力。不过高斯在抽象性与严密性上超越不少(当然有时代因素),就学术论学术,王子与欧拉都是卓越的全才型天才,均对各个领域分支作出同等级的贡献,但高斯无论深度或完成度都要略微胜过欧拉半筹,欧拉是分析的时代化身,高斯则对数论和微分几何同时做到当时最佳,欧拉的成果相对来说虽多但较零散,而高斯的成果较系统化,(这当然也有时代发展的因素),所以高斯比起欧拉,还是领先一个身位。
比起希尔伯特,格罗滕迪克,庞加莱三位,高斯的学术成就与这三位二十世纪的大师相比基本也是半斤八两,学术完成度与深度,贡献和影响力都旗鼓相当,甚至在未来这三人的地位都有可能超过高斯,而且这三人都是对现当代数学的影响力是直接的和卓越的,学术难度都超越高斯不少。
但是高斯最大的优势是时代优势,比起这两位位大师,高斯作出同级别同重量级的学术成就比起这两位大师早了一百年!这三位大师的学术影响力还需要更多的时间的考验,也许再过一两百年,这几位大师的地位都可能超越高斯,但现在排在高斯之前,还不合适。
而比起伽罗华,阿贝尔,虽然伽罗华和阿贝尔引发了群论以及结构化抽象代数的思潮,进而成为当代数学最重要的数学范式与浪潮,并深刻影响了物理学。可以说,高斯没有一项成就比得上。
在思想上,洞察力与创造力上,高斯比起这两个年轻人差距不小,尤其群论和抽象结构化数学已经统治了当代数学,这个影响力无与伦比,当代数学早已远远不是高斯的时代的东西了,对后世影响力高斯拍马难及。但是,高斯在数学成就的全面度,完成度要远远超越伽罗华和阿贝尔,高斯在各大分支均做出时代顶尖的成就,而阿贝尔,伽罗华更像代数偏才,阿贝尔分析还可以,对几何数论贡献可以忽略,伽罗华本人更是对几何分析数论几乎没有贡献!整体综合成就上,高斯已经超越阿贝尔。伽罗华很多了!其次,即使说到阿贝尔,伽罗华代表性的群论和结构化抽象化数学思想,这当然极其灿烂光辉,高斯没有一项成就比得上,但是问题是,伽罗华阿贝尔对群论和抽象代数的思想只是起了个源头,做了萌芽状态的突破,但因为短命离世,并未作出更多实质性的突破,也就是说虽然伽罗华阿贝尔两人体现了深邃的洞察力创造力,但他们更多的是起了一个创始人萌芽思想的作用,群论和抽象代数的主要功绩更多的是由后人如庞加莱,希尔伯特,格罗滕迪克以及戴德金等学者完成,也就是说,在成果的完成度上,伽罗华阿贝尔的成果还是较原始和粗糙,并未实质性统治或改变数学。在这点上,伽罗华和阿贝尔比起黎曼差距很大。本来如果伽罗华阿贝尔再活二三十年,保持这样的创造力,完全可以与庞加莱甚至黎曼一较高下了,数学成就史上前三甚至前四里就没有高斯什么事了。
而比起伽罗华阿贝尔,高斯的学术完成度要超越他们很多,尤其是数论和微分几何的成就,基本终结了古典数学时代,定型了领域和研究,何况高斯对各个数学分支都具有广泛的杰出成就,在1840甚至1850年以前是独领风骚的,这点上阿贝尔,伽罗华无法与高斯相提并论。所以高斯总体数学成就比阿贝尔伽罗华要高出大半个档次到一个档次,没有争议。综合以上,目前高斯排在史上第二的位置,暂时还是合适的。

NO1. 黎曼
等级: 超神
类型:超越时代
代表性成果:
1.黎曼几何(人类数学史,物理史,乃至思想史,史上最重要一次智慧与认知突破,对整个人类意义层面上来说,黎曼几何产生的时空观念,堪与牛顿力学,进化论,相对论,量子力学等相媲美,其重要意义远超过微积分和群论,没有争议。)
2.黎曼曲面,流形(现当代数学,物理的最重要的数学构造和基础工具之一,不解释)
3.黎曼洛赫定理(当代代数几何乃至物理学的数学中心定理中心支柱之一,不解释)
4.黎曼映射定理(听说过黎曼曲面的高维单值化定理吗?不解释)
5.黎曼猜想(最重要的数学猜想,史上最惊艳的个人秀,单核碾压全时代数论学者包括高斯无压力,一篇仅仅八页的短文,160年前,迄今未被超越)
简评:从纯数学学术成就角度来看,黎曼占据榜首是不存在任何争议的,这么说可能会让很多高斯粉,欧拉粉,牛顿粉不开心,但从数学成就的角度来看,黎曼无论在重要性,影响力,颠覆性个突破性上,都远远超过高斯,欧拉,牛顿,换言之,黎曼在数学上的成就,大约等于高斯加欧拉再加上牛顿和庞加莱的总和,他们的差距大概这么远。
黎曼以下的数学家,跟他差距都比较大,基本不在一个等级上,除了庞加莱在拓扑学难度上可以稍微接近之外。
黎曼是世界数学界最具影响力数学家理由?
1.史上唯一具有全面统治力的数学家,没有之一!以黎曼命名的数学成果共有81个,仅次于高斯(110个),欧拉(102个),数学成果多少不是黎曼的主要贡献,黎曼对如何证明发现几十几百条各个数学分支的定理兴趣似乎不大,黎曼只搞那些将几何,数论,分析等各类分支大一统的数学工具,重新改变数学的观念和定义!其他数学家停留在发现和研究数学,而黎曼直接是创造数学。
这就是黎曼比高斯,庞加莱,欧拉,牛顿强的原因!黎曼所做的都是数学史上最重要的工作,而这些工作只有黎曼一个人在做。
很多人说黎曼的主要成就是开创奠基了复变函数,非欧几何,解析数论,代数几何,拓扑学等等学科,这当然很伟大,也很形式化,但这个评价并不能准确评估黎曼的地位,如果黎曼只是开创了多少新学科,那么他的数学成就和地位不会比欧拉,高斯,庞加莱,希尔伯特,牛顿更高。
开创许多数学分支并不是黎曼的核心成就,黎曼的辉煌是来自他在开创这些分支时若发明的方法和数学构造,而这些数学构造却是联接几何,分析,拓扑,数论,乃至物理的工具,比如黎曼曲面,流形,黎曼罗赫定理,黎曼映射定理,无不是直接联接数学与物理的最重要的数学工具,很难想象当代一流的数学家或理论物理学家能够不用到这些基础而作出一流的工作。
黎曼的创造性的工作,使他成为史上迄今唯一统治了数论,几何,分析各大数学分支并为现代物理提供最强力数学构造的超神级数学家。唯一能够与黎曼接近的是庞加莱。牛顿联接了分析与物理,但牛顿在数论,代数,几何上的成就太次,根本达不到水准之上;
高斯和欧拉,柯西等人成果覆盖数论代数几何分析,号称全才,但和黎曼直接联结分支的工作比起来,就显得完全不是一个档次的工作了。
黎曼一篇八页的论文,就能干掉高斯除算数探索和曲面几何之外所有成果的总和了。阿贝尔,伽罗华的群论抽代思想,既可以对数学全局具有统治力,也完美联结物理,本可以与黎曼抗衡,但他们的完成度太低,短命留下了数学史上最大遗憾。
黎曼唯一的缺憾是没有对代数群论作出成果,影响了他真正大一统数学领域,但也留下了大手笔,请不要忘记,黎曼-罗赫定理是现代抽象结构代数几何的中心!
2.史上最具创造力,洞察力与远见的数学家,没有之一。
黎曼从来不以证明定理、爆算能力著称,甚至不在乎证明的严格性。黎曼只搞自由自在的创造!
黎曼面,流形,度量,曲率张量,亏格,参模数,模空间,力即几何,空间弯曲,等等在当时看来稀奇古怪的数学新概念新观念,后来都被证明黎曼提出的新观念,新概念。这些才是数学物理的正确打开方式,才是数学物理走进现代的基石,如果没有黎曼凭空搞出来的这些奇怪的东西,现代数学和现代理论物理估计就完蛋了,相对论和量子场论恐怕就是民科了,现在最热门的物理理论分支弦理论绝对不复存在了。
而这些稀奇古怪的东西,在黎曼屈指可数的十几篇论文里俯拾皆是,这类新概念新观念,随便你发明了其中一个,都会成为中国第一乃至世界前几位的数学家!即使是他次一级的成就,比如柯西黎曼条件,黎曼积分,黎曼许瓦兹定理,黎曼泽塔函数等等等等之类,拿出来放在今天,也足以让任何一个数学家成为相关领域的顶尖学者!
高斯是古典数学的集大成者,并启发了现代数学,但带领数学走进现代化的,是黎曼,伽罗华,阿贝尔,其中黎曼,才是现代数学和物理大爆发的原点!
3.现代数学开山祖师,现代数学之王,对现代数学影响最深的学者,没有之一!
4.史上思想最深邃,最具深度的数学家,没有之一!一辈子只有18篇论文,但其中蕴含的思想,至今在引导数学家走向新的境界。
黎曼的数学思想,兼具了统治力,创造性,前沿性和引导力,既找到了金矿,同时为后来者提供了挖掘金矿的工具,在完成度和启发性上,史上第一,没有争议!
5.黎曼重写了数学的语言,观念和定义。黎曼之后,人们突然发现,**,原来数学还可以这么搞,原来这么搞搞出来的东西的价值才大,沿着黎曼十几篇文章搞出来的东西,才是现代数学与理论物理的正确表达。这点太重要了,观念的突破是决定性的,能够与黎曼媲美的只有庞加莱,伽罗华,和可怜的阿贝尔!
6.对当代物理学影响深远,华人数学家丘成桐,陈省身,物理学家杨振宁都是黎曼的脑残粉。丘成桐说中国学生中只要有人能完成黎曼一篇论文中的部分,这个人就能成为中国最伟大的数学家,虽然有点夸张,但也说明了黎曼的重大影响力。
杨-米尔斯理论实质就是黎曼-罗赫定理至今的终极应用,每一次对这个黎曼-罗赫定理的推广成功都是数学和物理的巨大进步,英国当代最伟大数学家阿蒂亚(Atiyah)认为,杨-米尔斯理论实际上是数学科学大统一的核心。它是黎曼-罗赫-格罗腾迪克(Riemann-Roch-Grothendieck)定理的推广从而与代数几何相关,同时又将分析直接同拓扑及微分几何不变量联系起来。
数学金字塔Top3,深度黎曼,广度高斯,难度庞加莱,黎曼站在高斯肩膀上并全面超越,但黎曼之后的数学巨匠庞加莱,格罗滕迪克都无法彻底走出黎曼的阴影,奠定上面两人核心地位的拓扑和代数几何雏形都是黎曼开创的,这仅仅黎曼部分成就,而黎曼对发现数学新理论,新分支,解决难题没有兴趣,仅仅是提供新的数学概念,观念,想法,却奠定了黎曼祖师爷地位。

黎曼的黑点:
1.观念与方法过于超前,不为当时所理解。虽然黎曼在生前已经被公认为当时代最强的数学家之一,但这只是他那些别的同行看得懂的工作而言,黎曼更重要的思想,在论文中创造出稀奇古怪的新概念,很怀疑当时有几个数学家能够理解,而黎曼开辟的思想方法工具领域,在长达近乎五十年,也就是半个世纪里,都是相对冷门的研究领域,比如黎曼几何,更多的是当作一种可以自洽的几何学,有几个意大利学者在玩,没人觉得这玩意有用,更不是数学界的主流,又比如黎曼猜想,也一样在半个世纪里几乎没几个人问津,相比较而言,魏尔斯特拉斯,雅可比,戴德金,才是数学界的主流,以及阿贝尔,伽罗华的学说都开始逐渐成为主流。
而且黎曼对于证明的某些不严谨,也让后世数学家们纷纷避开黎曼面这个神级利器。所幸意大利那几个学者默默的坚持搞这些全无用处的学问,以及后世克莱因,希尔伯特,庞加莱的力挺,黎曼终于回到神坛,在重新发现黎曼的过程中,相关学者当然也收获的超级丰厚的回报,尤其是相对论的诞生,直接让黎曼成为数学史上第一人。
2.在黎曼还活着的时候,他已经是公认的当时最强数学家之一,有之一,但他的成就与地位,公认的不如前一辈的有高斯柯西,同一辈的魏尔斯特拉斯,雅可比,甚至阿贝尔,伽罗华,声望都要高于黎曼,即使和狄利克雷,戴德金,爱森斯坦比,也就半斤八两。这无疑大大低估了黎曼的实际成就。
当时看不清楚,而在160年之后回头看,黎曼才是十九世纪数学界灿烂星空中位居正中央的最耀眼的那一颗,光芒足以照亮整片星空!



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