过去五十年和未来一百年

酒哥

的代数几何

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过去五十年和未来一百年的代数几何


讲述近代中国数学家欧美日等数学家的在数学核心领域highly regarded领域里的工作和贡献的较为普及及大众化的文章较难写因而较少。转贴的这篇是其一，出自专家之手，当然相关（结果价值评价等）所言也只是一家之言。



过去五十年和未来一百年（转载）作者：Quillen


2011-11-03 23:35:00
我想谈谈过去五十年和我预测未来一百年的代数几何,我将一次次分开讨论,如果有兴趣请支持:


1940-1965
代数几何在1900年以前,已经有了代数曲面的部分理论和代数曲线上的Riemann-Roch定理,但是语言和概念处于一个混乱的状态.在1950到1965年间出现了三个巨大的革命.奠定了代数几何的秩序描述了重要的问题,提供了未来发展的方向.她们是Hodge(加一堆人)开创复几何, Kodaira的三大工作和Grothendieck的抽象语言及新定义(问题):


让我先讲第一项工作.


Hodge+Lefschetz+Kaehler考虑了复流形的定义和一般的性质,Kaehler引入了Kaehler度量,Hodge利用了分析中着名的Elliptic regularity对Kaehler流形的上同调群作了至今仍然神秘的Hodge分解,并且提出着名的Hodge猜想,Lefschetz证明了Hodge猜想的非常特殊情形,并且证明了他的截面定理,用以连结一平滑代数簇和其截面的同调群.


这是一连串故事的开始,这个故事到现在,甚至以后一百年内都不会结束.


Kodaira的三大工作:


(1)Kodaira证明了当复流形上的Kaehler form的上同调是有理的时候,该复流行就可以全纯嵌入到复射影空间之中.而且也证明这是唯一的条件.至今称为Kodaira embedding.
(2)Kodaira把意大利学派对复曲面初步工作做了全面性地毯式的推广,对复曲面利用他的 “Kodaira dimension”作了一个本质上的分类,对分类中的几个大项都做了完全的讨论,尤其是对曲面作为一个over曲线的fibration,对其sigular fiber(椭圆情形)作了分类,至今称之为Kodaira Classification.
(3)Kodaira研究了复流形的变形理论,对一阶变形做了详细的了解.将一阶变形表达为切丛的第一阶上同调群,证明了至今称为Kodaira Spencer映射的存在性。


这三个工作,不论是哪一个都是无比的巨大.每一个工作都没有做完,但都做了开创性的一步,也显现了复曲面理论的三个主要观点:做为射影空间的子簇,作为over一个更低维度流形的fibration,作为其他更好了解的复流形的变形.


配合Chow的工作,Kodaira和Chow完全刻画那些可以做为射影空间子簇的复流形,知道她们正是那些用多项式在射影空间切出的子簇.复几何从此成为代数几何的心腹(大患)


嵌入定里使用了正曲率向量丛之上同调的消灭定理,这个消灭定理对高维流形的分类起了作用,也引发了后续的研究比如寻找更强的消灭定理


对曲面的分类,留下了general surface和她们的moduli问题,其使用的fibration技术,成为人们研究曲面和更高维流形的主要工具


变形理论被Kuranishi更一步拓展.证明了有名的Kuranishi Obstruction Theory(障碍理论), 描述复流形变形的障碍,发现了Kuranishi 映射,成为理解曲面(或任何代数几何研究对象)模空间局部图形的刻画方法.其数论面被Nicolas Katz研究其over Spec Z的变形性质, 帮助了Deligne证明Weil猜想.


Kodaira是神


Grothendieck
Grothendieck,是一个很难听的名字.如果你学过德文,你会知道 Grothen 是大的意思,Dick是老二的意思.所以合起来就是这个人的名字很Diaoˇ
他是真的很Diaoˇ,他伙同了一票同事和弟子,建立了他的Program of Scheme,写下了 EGA SGA 和FGA,就是代数几何初步,研习,和基础的意思.他又提出了Etatle Theory,Topo的概念, Weil 猜想的可能解法, 证明了他的Grothendieck Riemann Roch公式


关于上述几个工作,我来讨论依下:Scheme(我想中国翻译成概形)是研究代数簇一定会要关心的对象,主要有两个原因, 一是一个簇到另一个簇的映射,其fiber(一点的原象)不一定是个簇,但一定是一个概形,另一个理由是在研究算数几何时,要研究over不是复数体的概形, 必须使用scheme的概念.
这只是一个简单的概念,基本上概形就是由几个交换代数黏贴起来的图形,所有的性质都可以用交换代数描述的.但是在使用Cech上同调来讲sheaf的理论时,有特别得便利之处,另外在变形理论中,复流形的变形比scheme的变形难描述的多.


Etale cohomology是scheme/K在K不是複数时的类比于singular cohomology或DeRam cohomology的东西.而Etale homotopy则是此情形的homotopy. 两者都和K的算数性很有关系, 是类比于拓扑理论但是实际把Gal(K_1/K),包进去的概念,其中K_1是K的代数闭包. 这 Etale cohomology后来被Deligne拿来解决Weil Conjecture的一部份, 其实很大程度是只是表面的技术问题,但是想法是很突破性的: 把算术和几何做了一个很恰当的合并.


Topo是很新的概念,当时没有人注意,但现在对(moduli)Stack(中文可能翻译为堆积)很有影响当时是被拿来推广原来的拓扑中的开集合,用于定义Etale cohomology和homotopy.


Grothendick虽然做了很多重要的工作,对后人有很大的影响,但在本人的看法中,他的工作主要是语言的建立,除了很多技术性的部分之外 ,他的直觉并不是一种往常意义下的直觉, 而他是显然崇尚于抽象化可以解决一切问题的数学家, 据我所知有很多人学EGA SGA学到死胡同里, 其实是他学派大部分的后人都是如此,只有少数几个例外, 其实原因很简单,数学不应该是以抽象的语言为本质, 抽象化是数学的一大部分 ,但做为工具的成分多于作为研究的对象的成分,就像算子论,纯代数等等工具,很快整个科目就会枯竭,留下的价值是,所有人都要学习之,但并没有后续的问题.
毕竟数学真正的对象,除了物理问题以外,是几何(拓扑)与数,而方法只因为研究的对象而重要.


1965-1980


这个时期得代数几何工作比较分散,很多结果都变成了启发后面1980-2000年工作的具体例子.主要是模空间理论的出现逐渐成熟:这个时期的红人是David Mumford,单个较大的工作团来自Griffith的领导,另外Daniel Quillen作了非常抽象但在2005的今天逐渐揭示其重要性的工作:


(1)特殊曲面模空间:Kulikov和Robert Friedman完全刻画了K3曲面的semistable退化,Lefshetz等人证明了K3的Torelli 定理,其中也用到了这个时期Kuranishi发展的障碍理论,非常具有其特殊意义,人们开始关心模空间


(2)曲线模空间eligne和Mumford制造了亏格数为g的曲线的模空间及其紧化,在其上计算了一些重要的几何上同调的相交数.引入了Moduli Stack的观念,其中用了Grothendick Topos的语言,Artin研究了抽象Stack的局部-全域性质,Grothendick的学生Illusie研究了重要的 Cotangent Complex,成为stack上一个酷毙的变形理论.


(3)向量丛的模空间:人们开始研究向量丛的模空间,Narasimhan和Seshadri一系列的工作研究了曲线上向量丛模空间的製造和紧化, 研究他们的拓墣和几何性质.Atiyah-Bott从微分几何的方向来考虑相同的问题, 对黎曼面上的向量丛模空间计算其betti数.是Gauge(规范)理论在曲线上的经典之作


接下来我要讲这个时期中,David Mumford,Phillip Griffith,Daniel Quillen的工作


(1)Daniel Quillen:因为和Thom共同证明了有名的Cobordism Theorem,以及他开创了Homotopic Algebra, 定义了Higher K theorem和发现其和Chow group of Scheme的关系, 得到Fields medal.不同于Grothedick, Quillen的工作更具有数学上的价值,他的homotopical algebra至今仍是一个谜,但是越来越多的数学问题都指向了解这个谜是终极的方法,Higer K sheaf 的上同调等于Chow group,这个定理也是充满了神祕的面纱,从1980到2005 没有人开清楚其中的真正的现象.


这次我想介绍一下David Mumford和Phillip Griffith的贡献和我对他们的个人意见.
David Mumford是一个奇才.他有两个主要的工作:
(1)发展了Geometric Invariant Theorem,也就是着名的几何不变量理论,这个理论研究,当有一个群G作用在一个簇X的时候, 怎么样正确的找出X/G(称之为 Quotient by G) 上的scheme的结构.
这个问题听起来很简单,如果只想做 X/G上的拓扑或微分结构,几句话就可以说完, 但是想有一个簇或是 解析结构,就变的复杂,这是代数几何研究模空间的重要工具
几乎所有的模空间的制造都是这种X/G 的形式.比如说曲线的模空间,一个簇裡面的曲线的模空间,向量丛的模空间,霍奇结构的模空间等等等等等等等模空间


(2)曲线和Abelian Variety的模空间的紧化问题:模空间的紧化一直是备受关注的问题，人们想知道几何对象的退化会变成什么样子，Mumford研究上述两种对象模空间的紧化，并证明了对任意几何物件退化的 “Semistable Degeneration”定理，Mumford也对Abelien Group Scheme作了一些贡献，对算数几何起了重大的影响.


Phillip Griffith 相较之下，并没有这么杰出，他也就只做了一系列有关霍奇猜想的工作，他带领了一堆学生和工作伙伴，对霍奇结构的变形理论，和霍奇结构退化时的理论，作了相当的贡献，他主要的动机是想要研究霍奇猜想和Torelli问题.但是他失败了(ps: 霍奇猜想可看成是torelli的特例)他也因此离开了数学界，留下了他的两个著名著作a)和Joe Harris合写的Principles in Algebraic Geometry(b)和他的团队合写的Topic in Transcendal Geometry


在1965-1980这个时期中Pierre Deligne还提出了他的Mixed Hodege Structure，也就是混霍奇结构，是不平滑的簇的霍奇结构.另外Hironaka也证明了Resolution of Singularity的大定理得到非尔兹奖.


作为此文的作者，我想说依下我的个人观点，虽然Mumford的工作比Griffith杰出，但是我以为这只是短暂的历史现象，Mumford对他的学生非常恶劣.甚至盗取他的一位超强女学生的工作，相较之下Griffith就带领出一批学生和合作者，他虽然失败于一个不可能的任务:解决霍奇猜想，但他的学生在下一个时期中，持续的在这个纲领上工作，也取得重要的结果，一直到1996镜对称猜想出现，代数几何界对霍奇结构的重视突然飙高，随着这些故事，Griffith的精神永存.


1975-1992这个时期,是代数几何的一个黄金时期,这个时期有三个大猜想被解决,几个分支先后出现,能人辈出,真说的上风起云涌:
解决的猜想:
(1)Weil猜想:Weil在50年代提出了一个猜想,认为over Z的一个簇的整数点的个数隐藏了该簇的拓扑性质, 这是一个令人震惊的猜想,藉由几何物件连结了拓扑和算数,这个猜想由Pierre Deligne解决,他用了etale cohomology的各种性质,比如Lefshetz固定点公式,另外Weil将整数点合在一起写成一个生成函数,Deligne 证明了这个函数的黎曼猜想,这些工作是Grothendieck的Etale theory,甚至是代数几何,开始受到数论学家重视的原因.
(2)Mordell猜想:Mordell在20年代提出了他的着名猜想:说一个亏格大于等于2又定义over Q的代数曲线, 只能有有限个有理数点.这个猜想非常的简短漂亮,人们知道亏格零的曲线有有理数那么多有理数点,知道亏格一的曲线的有理数点形成一个有限生成交换群(这是Mordell的定理),如果证明了Mordell猜想, 那就说明了曲线的有理数点结构决定其Kodaira维数.这又是一个联结算数和几何的特别猜想.
(Kodaira维数是Canonical bundle的section的个数增长次数，曲线有三个Kodaira dimension，亏格0->K.D.=复无限大，亏格1->K.D.=0，亏格大于等于二->K.D.=1)


这个猜想被Gerd Faltings 解决，Faltings据说是一个天生下来学习Grothendieck 语言的数学家，他高中就把Bourbaki的代数念完，大学把EGA SGA念完，他证明Mordell猜想的方法也是利用Abelian Variety 的理论，这个人和Pierre Deligne 是算数几何的宗师.


(3) Calabi猜想: Calabi提出他的著名猜想:一个Kaehler形式可以调整为其Ricci曲率为给定的形式，邱成桐证明了这个猜想，也证明了Kaehler Eisten曲率的存在性，在K trivia 的时候就是著名的Calabi Yau流形，一维时是椭圆曲线，二维是K3曲面或Abelian曲面，都只有一种拓扑结构，三维以上就不依样，至少有数万种Calabi Yau流形有不同的拓扑，随着物理的镜对称理论和弦论，Calabi Yau流形变成了和 Eistein四维时空流形(with Eistein测度)一样重要的物理概念，成为了到现在20年内代数几何得重要研究对象.这个代数几何和物理的连结，某种意义上比前两个猜想的解决还要有意义.(Yau的结果虽然是微分几何的，但对代数几何的应用非常多，也可能持续发现其应用，比如说 P^2 上只有一个 Kaehler 结构也可用此证明)


下次我将说到Simon Donaldson，Maruyama+ David Gieseker，和Gromov的工作，虽然第一个和第三个不能算是代数几何学家,但是在21世纪的今天,他们的工作队代数几何起了深重的影响，就如邱成桐的一样.


这次要介绍的是1980-1990中，承先启后的数学家，Simon Donaldson，Maruyama+ David Gieseker，和 Gromov :


先介绍 Gromov:Gromov的主要工作是辛流形中仿全纯曲线的构造，以及其模空间的紧化，这个工作和代数曲线模空间的紧化有点类似，但不同的是仿全纯曲线只需要给定辛流形上一个可行的近复结构(an compatible almost complex structure on the fixed symplectic manifold)，不需要该近复结构是可积的，Gromove了解了这种曲线的specialization，也就是一连串这种曲线的极限曲线，有名的Gromov Compactness(紧化)和Uhlenbeck的紧化(见Donaldson)并称齐驱，后来Ruan Youn Bin和Tian Gang等人以此构造了数学上的Gromov Witten不变量和所谓的量子上同调，现在是辛几何的主要研究方法.这一工作对代数几何的重要性是很大的，至少Kaehler流形是辛几何和代数几何的交会点，这上面的 Gromov Witten 不变量(也就是 数数看流行中有几条访全纯曲线)是代数几何的一些古老问题解决的终极手段( 所谓的 Enumerative Algebraic Geometry早有一百多年历史，只是一直没有系统的理论来统合，Gromov Witten 理论是其中依个选择)


其次介绍 Maruyama，David Gieseker:他们的工作是层的模空间的构造，他们用了David Mumford的几何不变量理论(Geometric Invariant Theory)考虑了一固定簇X，上面给定其陈类(陈类是簇的完全拓扑信息)的所有的半稳定的层.这一(半)稳定性(semi-stability)被称为Gieseker(semi)stability.这些层的搜集上面有一个天然的复结构，也就是(半)稳定层的模空间的复结构，这个空间和所有稳定的映像C-->X 的模空间有相似之处，在X唯一个点时就是曲线的模空间(十年前由Deligne+Mumford构造)Gieseker还考虑了这种模空间的退化:随着簇的退化，模空间当然也跟着退化(degeneration)，这个退化的手段这五年来慢慢成为代数几何的重要研究对象(当然簇的退化已经有很多例子，比如说K3曲面，或是代数曲线的退化)。


最后讲 Simon Donaldson:
Donaldson 考虑四维流行上面某依个向量丛上面办自对偶的连络的模空间，再这个空间上做一些天然同调类的相交，得到了一串量并证明这是该四维流形的微分结构不变量. 在他之前 smale 证明了大于四维的流形的Poincare猜想(和求同伦必和求同胚)，Freedman证明了四微的猜想，当时最大的拓扑问题还是三维Poincare猜想，一直到最近才被牛佩雷尔曼先生解决，但是人们对微分拓扑的Poincare猜想毫无了解，也就是问如果流形是和球同胚是不是一定和球微分同胚.Donaldson用上述的模空间的方法构造了四微微分流形的微分结构不变量，找出了一些拓扑流形上面不可能有任何微分结构，找出一个拓扑流形其上有两个以上甚至无线多个微分结构.这些微分结构的判定就是靠上述构造的相交数.称为Donalson不变量，当四维流形是代数曲面时，这个模空间和该向量从上所有稳定的复结构的模空间是差不多的，John Morgan和李骏证明可用向亮丛的模空间上的相交数算出一样的量，这个情形就完全是袋鼠几何的范畴，一直到现在都还是一个很不清晰的状态。


后来有利用Spin结构造的Seiberg Witten不变量，比Donaldson的容易了解很多，人们也开始比较重视 Donaldson不变量的代数几何面，因为其微分面很大部分已被Seiberg Witten 取代，但是这个故事还没有完.Donaldson的几位弟子和他本人在下一个世纪中继续的对数学做出创造性的贡献，他的弟子是Richard Thomas，Paul Sedal 等人.




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2011-11-05 15:43:19 [已注销]
作者叫作Quillen。这文章太大言不惭了，而且完全目中无人，还有很多胡说的地方（基本除了讲代数几何的都是胡说）。不知道作者有没有做什么像样的工作。如果没有，又是我鄙视的对象了。




2011-11-05 15:46:25 [已注销]
另外作者对Grothendieck不公正评价之余，连名字都写错了。还有topo是什么？topos还是Grothendieck topology？让人很怀疑作者实际水平。




2011-11-05 15:48:50 [已注销]
最让人受不了的风格就是文中突然出现一句
XX是神。
我觉得sb才喜欢说这种话。




2011-11-05 16:09:46 小鸬鹚和她的 (ふたり何処へ行くの)
作者不懂德语乱说




2011-11-05 21:47:42 诡辩 (且将新火试新茶，诗酒趁年华)
作者叫Quilen，想来是他崇拜的。作者不知道有什么成果，好像只是在Stanford还是什么的做代数几何。
topo应该是topos把，文章的大部分错别字都已经修改了。
Grothendieck我修改过一些，不过看到后来作者的解释我就没改了，完全不懂德语，这里的解释也不知道是不是对的，也许jiajia在就能知道
小平邦彦是神那里也显得很突兀。


不过原作的时间实在太长了而且也找不到原始版本了不知道里面的内容是不是做过修改。姑且一看把。




2011-11-06 21:10:06 _清_™ (看不清楚)
Serre的一个著名猜想好像是这个Quillen解决的




2011-11-06 22:18:42 Tao Project (阿基米德比荷马更有想象力。)
我以前在博士论坛上见过这个Quillen，是Stanford的Ph.D吧。当时是论坛上一大牛人，厉害的很。




2011-11-06 22:29:03 _清_™ (看不清楚)
原来此Quillen非彼Quillen啊……




2011-11-07 01:30:47 [已注销]
我当时就想，你不要在说Quillen-Suslin theorem哦•••不幸猜中。




2011-11-07 22:12:06 jiajia (瓶颈……)
才看到……


对德语那段很无语……作者很明显把德语和英语混合起来说了，groß才是大的意思，eta一般写成ss，dieck不等于dick，而且在德语里面这也不是一个词来的，对神的不敬啊……




2011-11-07 22:30:17 诡辩 (且将新火试新茶，诗酒趁年华)
多谢jiajia姐解惑 哈哈~




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過去五十年和未來一百年的代數幾何


講述近代中國數學家歐美日等數學家的在數學核心領域highly regarded領域裡的工作和貢獻的較為普及及大眾化的文章較難寫因而較少。轉貼的這篇是其一，出自專家之手，當然相關（結果價值評價等）所言也只是一家之言。



過去五十年和未來一百年（轉載）作者：Quillen


2011-11-03 23:35:00
我想談談過去五十年和我預測未來一百年的代數幾何,我將一次次分開討論,如果有興趣請支持:


1940-1965
代數幾何在1900年以前,已經有了代數曲面的部分理論和代數曲線上的Riemann-Roch定理,但是語言和概念處於一個混亂的狀態.在1950到1965年間出現了三個巨大的革命.奠定了代數幾何的秩序描述了重要的問題,提供了未來發展的方向.她們是Hodge(加一堆人)開創復幾何, Kodaira的三大工作和Grothendieck的抽象語言及新定義(問題):


讓我先講第一項工作.


Hodge+Lefschetz+Kaehler考慮了複流形的定義和一般的性質,Kaehler引入了Kaehler度量,Hodge利用了分析中着名的Elliptic regularity對Kaehler流形的上同調群作了至今仍然神秘的Hodge分解,並且提出着名的Hodge猜想,Lefschetz證明了Hodge猜想的非常特殊情形,並且證明了他的截面定理,用以連結一平滑代數簇和其截面的同調群.


這是一連串故事的開始,這個故事到現在,甚至以後一百年內都不會結束.


Kodaira的三大工作:


(1)Kodaira證明了當複流形上的Kaehler form的上同調是有理的時候,該複流行就可以全純嵌入到復射影空間之中.而且也證明這是唯一的條件.至今稱為Kodaira embedding.
(2)Kodaira把意大利學派對復曲面初步工作做了全面性地毯式的推廣,對復曲面利用他的 “Kodaira dimension”作了一個本質上的分類,對分類中的幾個大項都做了完全的討論,尤其是對曲面作為一個over曲線的fibration,對其sigular fiber(橢圓情形)作了分類,至今稱之為Kodaira Classification.
(3)Kodaira研究了複流形的變形理論,對一階變形做了詳細的瞭解.將一階變形表達為切叢的第一階上同調群,證明了至今稱為Kodaira Spencer映射的存在性。


這三個工作,不論是哪一個都是無比的巨大.每一個工作都沒有做完,但都做了開創性的一步,也顯現了復曲面理論的三個主要觀點:做為射影空間的子簇,作為over一個更低維度流形的fibration,作為其他更好瞭解的複流形的變形.


配合Chow的工作,Kodaira和Chow完全刻畫那些可以做為射影空間子簇的複流形,知道她們正是那些用多項式在射影空間切出的子簇.復幾何從此成為代數幾何的心腹(大患)


嵌入定裡使用了正曲率向量叢之上同調的消滅定理,這個消滅定理對高維流形的分類起了作用,也引發了後續的研究比如尋找更強的消滅定理


對曲面的分類,留下了general surface和她們的moduli問題,其使用的fibration技術,成為人們研究曲面和更高維流形的主要工具


變形理論被Kuranishi更一步拓展.證明了有名的Kuranishi Obstruction Theory(障礙理論), 描述複流形變形的障礙,發現了Kuranishi 映射,成為理解曲面(或任何代數幾何研究對象)模空間局部圖形的刻畫方法.其數論面被Nicolas Katz研究其over Spec Z的變形性質, 幫助了Deligne證明Weil猜想.


Kodaira是神


Grothendieck
Grothendieck,是一個很難聽的名字.如果你學過德文,你會知道 Grothen 是大的意思,Dick是老二的意思.所以合起來就是這個人的名字很Diaoˇ
他是真的很Diaoˇ,他夥同了一票同事和弟子,建立了他的Program of Scheme,寫下了 EGA SGA 和FGA,就是代數幾何初步,研習,和基礎的意思.他又提出了Etatle Theory,Topo的概念, Weil 猜想的可能解法, 證明了他的Grothendieck Riemann Roch公式


關於上述幾個工作,我來討論依下:Scheme(我想中國翻譯成概形)是研究代數簇一定會要關心的對象,主要有兩個原因, 一是一個簇到另一個簇的映射,其fiber(一點的原像)不一定是個簇,但一定是一個概形,另一個理由是在研究算數幾何時,要研究over不是複數體的概形, 必須使用scheme的概念.
這只是一個簡單的概念,基本上概形就是由幾個交換代數黏貼起來的圖形,所有的性質都可以用交換代數描述的.但是在使用Cech上同調來講sheaf的理論時,有特別得便利之處,另外在變形理論中,複流形的變形比scheme的變形難描述的多.


Etale cohomology是scheme/K在K不是複數時的類比於singular cohomology或DeRam cohomology的東西.而Etale homotopy則是此情形的homotopy. 兩者都和K的算數性很有關係, 是類比於拓撲理論但是實際把Gal(K_1/K),包進去的概念,其中K_1是K的代數閉包. 這 Etale cohomology後來被Deligne拿來解決Weil Conjecture的一部份, 其實很大程度是只是表面的技術問題,但是想法是很突破性的: 把算術和幾何做了一個很恰當的合併.


Topo是很新的概念,當時沒有人注意,但現在對(moduli)Stack(中文可能翻譯為堆積)很有影響噹時是被拿來推廣原來的拓撲中的開集合,用於定義Etale cohomology和homotopy.


Grothendick雖然做了很多重要的工作,對後人有很大的影響,但在本人的看法中,他的工作主要是語言的建立,除了很多技術性的部分之外 ,他的直覺並不是一種往常意義下的直覺, 而他是顯然崇尚於抽象化可以解決一切問題的數學家, 據我所知有很多人學EGA SGA學到死胡同裡, 其實是他學派大部分的後人都是如此,只有少數幾個例外, 其實原因很簡單,數學不應該是以抽象的語言為本質, 抽象化是數學的一大部分 ,但做為工具的成分多於作為研究的對象的成分,就像算子論,純代數等等工具,很快整個科目就會枯竭,留下的價值是,所有人都要學習之,但並沒有後續的問題.
畢竟數學真正的對象,除了物理問題以外,是幾何(拓撲)與數,而方法只因為研究的對象而重要.


1965-1980


這個時期得代數幾何工作比較分散,很多結果都變成了啟發後面1980-2000年工作的具體例子.主要是模空間理論的出現逐漸成熟:這個時期的紅人是David Mumford,單個較大的工作團來自Griffith的領導,另外Daniel Quillen作了非常抽象但在2005的今天逐漸揭示其重要性的工作:


(1)特殊曲面模空間:Kulikov和Robert Friedman完全刻畫了K3曲面的semistable退化,Lefshetz等人證明了K3的Torelli 定理,其中也用到了這個時期Kuranishi發展的障礙理論,非常具有其特殊意義,人們開始關心模空間


(2)曲線模空間eligne和Mumford製造了虧格數為g的曲線的模空間及其緊化,在其上計算了一些重要的幾何上同調的相交數.引入了Moduli Stack的觀念,其中用了Grothendick Topos的語言,Artin研究了抽象Stack的局部-全域性質,Grothendick的學生Illusie研究了重要的 Cotangent Complex,成為stack上一個酷斃的變形理論.


(3)向量叢的模空間:人們開始研究向量叢的模空間,Narasimhan和Seshadri一系列的工作研究了曲線上向量叢模空間的製造和緊化, 研究他們的拓墣和幾何性質.Atiyah-Bott從微分幾何的方向來考慮相同的問題, 對黎曼面上的向量叢模空間計算其betti數.是Gauge(規範)理論在曲線上的經典之作


接下來我要講這個時期中,David Mumford,Phillip Griffith,Daniel Quillen的工作


(1)Daniel Quillen:因為和Thom共同證明了有名的Cobordism Theorem,以及他開創了Homotopic Algebra, 定義了Higher K theorem和發現其和Chow group of Scheme的關係, 得到Fields medal.不同於Grothedick, Quillen的工作更具有數學上的價值,他的homotopical algebra至今仍是一個謎,但是越來越多的數學問題都指向瞭解這個謎是終極的方法,Higer K sheaf 的上同調等於Chow group,這個定理也是充滿了神祕的面紗,從1980到2005 沒有人開清楚其中的真正的現象.


這次我想介紹一下David Mumford和Phillip Griffith的貢獻和我對他們的個人意見.
David Mumford是一個奇才.他有兩個主要的工作:
(1)發展了Geometric Invariant Theorem,也就是着名的幾何不變數理論,這個理論研究,當有一個群G作用在一個簇X的時候, 怎麼樣正確的找出X/G(稱之為 Quotient by G) 上的scheme的結構.
這個問題聽起來很簡單,如果只想做 X/G上的拓撲或微分結構,幾句話就可以說完, 但是想有一個簇或是 解析結構,就變的複雜,這是代數幾何研究模空間的重要工具
幾乎所有的模空間的製造都是這種X/G 的形式.比如說曲線的模空間,一個簇裡面的曲線的模空間,向量叢的模空間,霍奇結構的模空間等等等等等等等模空間


(2)曲線和Abelian Variety的模空間的緊化問題:模空間的緊化一直是備受關注的問題，人們想知道幾何對象的退化會變成什麼樣子，Mumford研究上述兩種對象模空間的緊化，並證明了對任意幾何物件退化的 “Semistable Degeneration”定理，Mumford也對Abelien Group Scheme作了一些貢獻，對算數幾何起了重大的影響.


Phillip Griffith 相較之下，並沒有這麼傑出，他也就只做了一系列有關霍奇猜想的工作，他帶領了一堆學生和工作夥伴，對霍奇結構的變形理論，和霍奇結構退化時的理論，作了相當的貢獻，他主要的動機是想要研究霍奇猜想和Torelli問題.但是他失敗了(ps: 霍奇猜想可看成是torelli的特例)他也因此離開了數學界，留下了他的兩個著名著作a)和Joe Harris合寫的Principles in Algebraic Geometry(b)和他的團隊合寫的Topic in Transcendal Geometry


在1965-1980這個時期中Pierre Deligne還提出了他的Mixed Hodege Structure，也就是混霍奇結構，是不平滑的簇的霍奇結構.另外Hironaka也證明了Resolution of Singularity的大定理得到非爾茲獎.


作為此文的作者，我想說依下我的個人觀點，雖然Mumford的工作比Griffith傑出，但是我以為這只是短暫的歷史現象，Mumford對他的學生非常惡劣.甚至盜取他的一位超強女學生的工作，相較之下Griffith就帶領出一批學生和合作者，他雖然失敗於一個不可能的任務:解決霍奇猜想，但他的學生在下一個時期中，持續的在這個綱領上工作，也取得重要的結果，一直到1996鏡對稱猜想出現，代數幾何界對霍奇結構的重視突然飆高，隨着這些故事，Griffith的精神永存.


1975-1992這個時期,是代數幾何的一個黃金時期,這個時期有三個大猜想被解決,幾個分支先後出現,能人輩出,真說的上風起雲湧:
解決的猜想:
(1)Weil猜想:Weil在50年代提出了一個猜想,認為over Z的一個簇的整數點的個數隱藏了該簇的拓撲性質, 這是一個令人震驚的猜想,藉由幾何物件連結了拓撲和算數,這個猜想由Pierre Deligne解決,他用了etale cohomology的各種性質,比如Lefshetz固定點公式,另外Weil將整數點合在一起寫成一個生成函數,Deligne 證明了這個函數的黎曼猜想,這些工作是Grothendieck的Etale theory,甚至是代數幾何,開始受到數論學家重視的原因.
(2)Mordell猜想:Mordell在20年代提出了他的着名猜想:說一個虧格大於等於2又定義over Q的代數曲線, 只能有有限個有理數點.這個猜想非常的簡短漂亮,人們知道虧格零的曲線有有理數那麼多有理數點,知道虧格一的曲線的有理數點形成一個有限生成交換群(這是Mordell的定理),如果證明了Mordell猜想, 那就說明了曲線的有理數點結構決定其Kodaira維數.這又是一個聯結算數和幾何的特別猜想.
(Kodaira維數是Canonical bundle的section的個數增長次數，曲線有三個Kodaira dimension，虧格0->K.D.=復無限大，虧格1->K.D.=0，虧格大於等於二->K.D.=1)


這個猜想被Gerd Faltings 解決，Faltings據說是一個天生下來學習Grothendieck 語言的數學家，他高中就把Bourbaki的代數唸完，大學把EGA SGA唸完，他證明Mordell猜想的方法也是利用Abelian Variety 的理論，這個人和Pierre Deligne 是算數幾何的宗師.


(3) Calabi猜想: Calabi提出他的著名猜想:一個Kaehler形式可以調整為其Ricci曲率為給定的形式，邱成桐證明了這個猜想，也證明了Kaehler Eisten曲率的存在性，在K trivia 的時候就是著名的Calabi Yau流形，一維時是橢圓曲線，二維是K3曲面或Abelian曲面，都只有一種拓撲結構，三維以上就不依樣，至少有數萬種Calabi Yau流形有不同的拓撲，隨着物理的鏡對稱理論和弦論，Calabi Yau流形變成了和 Eistein四維時空流形(with Eistein測度)一樣重要的物理概念，成為了到現在20年內代數幾何得重要研究對象.這個代數幾何和物理的連結，某種意義上比前兩個猜想的解決還要有意義.(Yau的結果雖然是微分幾何的，但對代數幾何的應用非常多，也可能持續發現其應用，比如說 P^2 上只有一個 Kaehler 結構也可用此證明)


下次我將說到Simon Donaldson，Maruyama+ David Gieseker，和Gromov的工作，雖然第一個和第三個不能算是代數幾何學家,但是在21世紀的今天,他們的工作隊代數幾何起了深重的影響，就如邱成桐的一樣.


這次要介紹的是1980-1990中，承先啟後的數學家，Simon Donaldson，Maruyama+ David Gieseker，和 Gromov :


先介紹 Gromov:Gromov的主要工作是辛流形中仿全純曲線的構造，以及其模空間的緊化，這個工作和代數曲線模空間的緊化有點類似，但不同的是仿全純曲線只需要給定辛流形上一個可行的近復結構(an compatible almost complex structure on the fixed symplectic manifold)，不需要該近復結構是可積的，Gromove瞭解了這種曲線的specialization，也就是一連串這種曲線的極限曲線，有名的Gromov Compactness(緊化)和Uhlenbeck的緊化(見Donaldson)並稱齊驅，後來Ruan Youn Bin和Tian Gang等人以此構造了數學上的Gromov Witten不變數和所謂的量子上同調，現在是辛幾何的主要研究方法.這一工作對代數幾何的重要性是很大的，至少Kaehler流形是辛幾何和代數幾何的交會點，這上面的 Gromov Witten 不變數(也就是 數數看流行中有幾條訪全純曲線)是代數幾何的一些古老問題解決的終極手段( 所謂的 Enumerative Algebraic Geometry早有一百多年歷史，只是一直沒有系統的理論來統合，Gromov Witten 理論是其中依個選擇)


其次介紹 Maruyama，David Gieseker:他們的工作是層的模空間的構造，他們用了David Mumford的幾何不變數理論(Geometric Invariant Theory)考慮了一固定簇X，上面給定其陳類(陳類是簇的完全拓撲信息)的所有的半穩定的層.這一(半)穩定性(semi-stability)被稱為Gieseker(semi)stability.這些層的蒐集上面有一個天然的復結構，也就是(半)穩定層的模空間的復結構，這個空間和所有穩定的映像C-->X 的模空間有相似之處，在X唯一個點時就是曲線的模空間(十年前由Deligne+Mumford構造)Gieseker還考慮了這種模空間的退化:隨着簇的退化，模空間當然也跟着退化(degeneration)，這個退化的手段這五年來慢慢成為代數幾何的重要研究對象(當然簇的退化已經有很多例子，比如說K3曲面，或是代數曲線的退化)。


最後講 Simon Donaldson:
Donaldson 考慮四維流行上面某依個向量叢上面辦自對偶的聯絡的模空間，再這個空間上做一些天然同調類的相交，得到了一串量並證明這是該四維流形的微分結構不變數. 在他之前 smale 證明了大於四維的流形的Poincare猜想(和求同倫必和求同胚)，Freedman證明了四微的猜想，當時最大的拓撲問題還是三維Poincare猜想，一直到最近才被牛佩雷爾曼先生解決，但是人們對微分拓撲的Poincare猜想毫無瞭解，也就是問如果流形是和球同胚是不是一定和球微分同胚.Donaldson用上述的模空間的方法構造了四微微分流形的微分結構不變數，找出了一些拓撲流形上面不可能有任何微分結構，找出一個拓撲流形其上有兩個以上甚至無線多個微分結構.這些微分結構的判定就是靠上述構造的相交數.稱為Donalson不變數，當四維流形是代數曲面時，這個模空間和該向量從上所有穩定的復結構的模空間是差不多的，John Morgan和李駿證明可用向亮叢的模空間上的相交數算出一樣的量，這個情形就完全是袋鼠幾何的範疇，一直到現在都還是一個很不清晰的狀態。


後來有利用Spin結構造的Seiberg Witten不變數，比Donaldson的容易瞭解很多，人們也開始比較重視 Donaldson不變數的代數幾何面，因為其微分面很大部分已被Seiberg Witten 取代，但是這個故事還沒有完.Donaldson的幾位弟子和他本人在下一個世紀中繼續的對數學做出創造性的貢獻，他的弟子是Richard Thomas，Paul Sedal 等人.




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2011-11-05 15:43:19 [已註銷]
作者叫作Quillen。這文章太大言不慚了，而且完全目中無人，還有很多胡說的地方（基本除了講代數幾何的都是胡說）。不知道作者有沒有做什麼像樣的工作。如果沒有，又是我鄙視的對象了。




2011-11-05 15:46:25 [已註銷]
另外作者對Grothendieck不公正評價之餘，連名字都寫錯了。還有topo是什麼？topos還是Grothendieck topology？讓人很懷疑作者實際水平。




2011-11-05 15:48:50 [已註銷]
最讓人受不了的風格就是文中突然出現一句
XX是神。
我覺得sb才喜歡說這種話。




2011-11-05 16:09:46 小鸕鷀和她的 (ふたり何処へ行くの)
作者不懂德語亂說




2011-11-05 21:47:42 詭辯 (且將新火試新茶，詩酒趁年華)
作者叫Quilen，想來是他崇拜的。作者不知道有什麼成果，好像只是在Stanford還是什麼的做代數幾何。
topo應該是topos把，文章的大部分錯別字都已經修改了。
Grothendieck我修改過一些，不過看到後來作者的解釋我就沒改了，完全不懂德語，這裡的解釋也不知道是不是對的，也許jiajia在就能知道
小平邦彥是神那裡也顯得很突兀。


不過原作的時間實在太長了而且也找不到原始版本了不知道里面的內容是不是做過修改。姑且一看把。




2011-11-06 21:10:06 _清_™ (看不清楚)
Serre的一個著名猜想好像是這個Quillen解決的




2011-11-06 22:18:42 Tao Project (阿基米德比荷馬更有想像力。)
我以前在博士論壇上見過這個Quillen，是Stanford的Ph.D吧。當時是論壇上一大牛人，厲害的很。




2011-11-06 22:29:03 _清_™ (看不清楚)
原來此Quillen非彼Quillen啊……




2011-11-07 01:30:47 [已註銷]
我當時就想，你不要在說Quillen-Suslin theorem哦•••不幸猜中。




2011-11-07 22:12:06 jiajia (瓶頸……)
才看到……


對德語那段很無語……作者很明顯把德語和英語混合起來說了，groß才是大的意思，eta一般寫成ss，dieck不等於dick，而且在德語裡面這也不是一個詞來的，對神的不敬啊……




2011-11-07 22:30:17 詭辯 (且將新火試新茶，詩酒趁年華)
多謝jiajia姐解惑 哈哈~