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云端的背影——格罗滕迪克的故事

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发表于 2018-6-19 14:29:58 | 显示全部楼层 |阅读模式
https://kknews.cc/science/48jy4bx.html


每一门科学,当我们不是将它作为能力和统治力的工具,而是作为我们人类世代以来努力追求的对知识的冒险历程,不是别的,就是这样一种和谐,从一个时期到另一个时期,或多或少,巨大而又丰富:在不同的时代和世纪中,对于依次出现的不同的主题,它展现给我们微妙而精细的对应,仿佛来自虚空。


——《收获与播种》
2014年11月13号,一位老人在法国南部的一个偏远小镇的医院离世,消息很快传遍了世界数学界。在这个小群体中弥漫开的悼念氛围同时也惊动了媒体,引起了许多人的关注。而对于那些真正了解老人工作的人,这意味着一个时代的终结。这位老人叫亚历山大·格罗滕迪克(Alexander Grothendieck),在此之前,他已经与世隔绝地生活了近20年了。


Alexander Grothendieck
亚历山大·格罗滕迪克于1928年生于德国,由于出生于犹太家庭,他的童年是在二战的阴影下度过的,他一生的绝大多数时间都没有国籍。他曾住过在法国的战俘收容所以及反纳粹的避难所,在颠沛流离中完成了中学学业。据他回忆,他和他同学经常性地被迫躲进森林数日以逃避对犹太人的抓捕。童年的艰苦记忆让他更同情弱者,也埋下了日后强烈反战思想的种子。
战争结束后,他在法国蒙彼利尔大学上大学。落后的大学教育很快就让格罗滕迪克厌倦,他很少去上课,而是专心于思考面积以及体积的定义,只为了弥补高中课本中一个不令人满意的地方。经过数年的孤独思考,他实际上重新发展出了勒贝格积分理论,是现代实分析的基础。
从蒙彼利尔大学毕业后,格罗滕迪克前往巴黎——长久以来的世界数学中心——继续求学。在那里,格罗滕迪克第一次接触主流数学界,其中热烈而温暖的氛围让他多年以后仍心怀感激。当年格罗滕迪克身边的老师和同学许多都是后来名垂青史的大家,在被热烈氛围感染的同时,他也感受到来自自己贫乏的教育背景的压力。不久他离开巴黎,来到南锡师从丢多涅(Jean Dieudonne)和施瓦茨(Laurent-Moise Schwartz)攻读泛函分析。他的杰出才能很快显现出来,在一系列文章中他解决了这个领域的许多问题,并引入了新的抽象方法。他的导师丢多涅后来评价道,格罗滕迪克在泛函分析中的工作可以媲美这门学科的创始人巴拿赫(Stefan Banach)。而这仅仅只是他数学生涯的开始,他一生最辉煌的岁月即将到来。

如果说数学里有什么东西让我比对别的东西更着迷的话(毫无疑问,总有些让我着迷的),它既不是“数”也不是“大小”,而是型。在一千零一张通过其型来展示给我的面孔中,让我比其他更着迷的而且会继续让我着迷下去的,就是那隐藏在数学对象下的结构。
——《收获与播种》
1953年博士毕业后,因为国籍问题,他难以在法国大学找到工作,从而不得不去巴西和美国的大学呆了几年并最终于1956年回到巴黎。在这期间他离开了原来的泛函分析领域,转向了代数几何。这是一个研究多项式的古老分支,经过数百年的发展,在那时已经形成了一个庞大的体系。
20世纪初意大利的学派详细研究了其中的几何,为了弥补其中的严格性问题以及发展对于算术的应用,韦伊(André Weil)和扎里斯基(Oscar Zariski)以哥廷根学派发展起来的抽象代数重新构筑了整个代数几何的体系,韦伊更是提出了著名的韦伊猜想,其黑匣子式的断言似乎预示着代数几何和拓扑以及算术有着深刻的联系。

拓扑学是关于空间的基本性质的学科,它的一个昵称橡皮泥几何学一定程度上能反映出它的内容。简单地说,在拓扑学中,一个空间如果能通过捏橡皮泥式的形变变成另一个空间,那这两个空间就是一样的,拓扑学考虑的是空间的那些不随形变而改变的本性。而代数几何以及算术的对象则有着非常硬的性质,其中不存在拓扑中那样的弹性的形变,这些学科之间会有任何联系这本身就是一个很难想象的事。而这恰恰是格罗滕迪克感兴趣的地方,表面上互不相关的东西在深层上有着同样的本质,挖掘出它们的共同本质则是格罗滕迪克工作的主题。
为了达到这一目的,格罗滕迪克以一种更抽象的方式重新构筑了整个代数几何的基础,同时建立了类似拓扑学的上同调理论。实际上他以及他的合作者建立了一种崭新的几何学叫做拓扑斯,并且发展出了一套处理它们的工具, 这些想法被记录并整理出版成了总共七千多页的专著, 数学家们通常简称为EGA, SGA 和 FGA, 作为圣经般的存在。


EGA的标题页,章节一。
他的新几何摈弃了传统上几何的许多表面性质,而代之以更本质的对象。在他的几何学中空间甚至并不存在点,也看不见任何的形状,只有深深根植于抽象体系的复杂对象存在。令人惊讶的是我们对于通常空间的直觉在这里仍然适用。从后来的发展来看,格罗滕迪克的几何是如此的根本,许多表面上不存在任何几何结构的代数以及算术的对象都能纳入他的框架或其变种,从而人们可以用我们关于通常几何的直觉去处理它们,而这已经证明是极为成功的。
近年来,理论物理学家也开始意识到这些几何的重要性,并且在弦论上使用它们。格罗滕迪克的思想是如此的根本,它已经渗透进了数学的诸多领域。现代数学越来越深化的抽象潮流很大程度上归功于格罗滕迪克。在他之前,从希尔伯特开始数学已经开始了抽象化,但直到格罗滕迪克才成为主流。

所有的数学家生活在两个不同的世界里。一个是由完美的理想形式构成的晶莹剔透的世界,一座冰宫。但他们还生活在普通世界里,事物因其发展或转瞬即逝,或模糊不清。数学家们穿梭于这两个世界,在透明的世界里,他们是成人,在现实的世界里,他们则成了婴儿。
——S.Cappel
格罗滕迪克于1958年以创始人身份加入巴黎IHES研究所,这是一个私人建立的研究所,并不隶属于政府,所以格罗滕迪克的无国籍身份并不会构成阻碍。在这里他建立了一个繁盛的学派,许多年轻人聚集在格罗滕迪克身边共同探索未知的领域。他的非凡精力以及忘我的投入产生了思维的巨浪,将无数人推上了他指引的航程。他们中很多人成为了所在领域的领袖,其中佼佼者包括两位菲尔兹奖得主德利涅(Pierre Deligne)和芒福德(David Mumford)。他的思想同样辐射到了世界其他角落,包括俄国日本,20世纪后半叶的许多顶级数学家都是他的追随者,如菲尔兹奖得主Mori,Voevodsky,Faltings,受到他间接影响的数学家更是不计其数。

然而,在其生涯的巅峰,王者却猝然离开了他所开创的世界。事件的导火索是IHES接受了军方的资助,作为创始成员的格罗滕迪克听闻后于70年愤然辞职。在那个年代,法国的学生运动此起彼伏,而政府的镇压经常演变为暴乱。布拉格之春的镇压以及越战更是引起了强烈的反战情绪,在这样的背景下,格罗滕迪克强烈的反战情绪被调动起来,他曾经所醉心的数学世界被渐渐丢弃在一旁。他曾经为了抗议苏联政府拒绝领取菲尔兹奖。他组织了一个叫做生存的组织,目标是反对战争以及环境保护,格罗滕迪克的个人魅力吸引了一些人加入。他鄙弃一切和军事沾边的研究,呼吁科学家不要和军队合作。然而格罗滕迪克很明显并不擅长政治,这个组织几年后就渐渐衰落。在这段期间,格罗滕迪克反传统的倾向越发明显,他所创立的组织衰落后,他回到了他的母校蒙彼利尔大学,住在一个偏远的没有电的房子里过着苦行僧一样的生活。他曾经出过车祸,但拒绝使用抗生素,直到医生告诉他另一个选择是把腿锯掉以后才同意。他拒绝回到数学界的中心,但他仍然不时研究数学。在80年代他写了几份数千页的手稿,勾勒出了一些崭新的研究方向,并且写了自传《收获与播种》。
这些手稿从未出版,他们只在数学家之间相互传阅。其中的一些想法今天已经慢慢被数学界吸收,打开了新的大门。在这里有两位年轻一代的数学家值得提起,哈佛的Lurie和日本的望月新一。Lurie发展了格罗滕迪克的纲领将代数几何与代数拓扑中的同伦论结合起来,而望月新一发展了格罗滕迪克的anabelian理论,于2012年宣称证明了abc猜想,因其复杂的理论,这个证明至今也没有被完全理解和验证。许多曾经的同事和朋友经常前来探望他,但他渐渐切断了和数学界的联系,变得更加孤立,日渐沉迷于精神世界。在90年代,他彻底切断了和过去世界的联系。他留下了他的研究手稿,随即隐居到了法国南部的山中,朋友和家人都不知他的所在。数学界想要重新出版他的著作,但因为无法联系到他而不得不作罢。直到去世前,格罗滕迪克几乎完全消失于世界。
在经历过所有这些的事情后,在比利牛斯山孤独的退休生活里,亚历山大-格洛腾迪克有权去休息了。他值得我们的景仰和尊敬,但最重要的,想到我们所亏欠他的,我们应该让他得到安宁。
——Yves Ladegaillerie
爱因斯坦对物理学有多重要,格罗滕迪克对数学就有多重要,他对真理的追寻将我们带到了认知的最远端。他的一生彰显了一个伟大到令人生畏的头脑在试图理解世界与自身所发生的故事。谨以此文代表一个普通数学工作者的敬意。
参考文献
Allyn Jackson, Comme Appelé du Néant— As If Summoned from the Void: The Life of Alexandre Grothendieck, Notices of AMS 2004
作者:吴峙佑 原理(ID:principia1687)

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