[八卦怪谈] 一些对数学领域及数学研究的个人看法

酒哥

[八卦怪谈] 一些对数学领域及数学研究的个人看法（十一）
数学问题


作者：wcboy


数学问题是数学研究的核心。一个好的数学问题对研究人来说至关重要。对个人而言，好的数学问题不是重要和有名的，而是适合自己的。对数学发展来说，好的数学问题必然是重要的数学问题，但不一定是有名的。

厉害的研究人员都追逐重要的问题。希尔伯特23问题客观上虚抬了希尔伯特的历史学术身价，因为他给很多数学研究人员一个出人头地的机会，大家都感谢他。应该说希尔伯特问题还是不错的，但现在看来，很多问题并不都属一流问题而且有的问题的太泛泛而产生不出有实质重要的东西。并且他的东西有明显的局限性，代数和数论因素远强过几何，这与他的风格和洞察力有关。尽管他的公理化推动了数学抽象的进阶，但他自己的公理化成果实在不敢恭维，格洛腾迪克的抽象和几何能力强他不少。

一个数学问题的重要性有两个方面。一个是问题本身重要，比如黎曼猜想。一个是解这个问题会产生重要的通用构造，比如费马大定理。并不是难解的问题都是一流重要的，比如哥德巴赫猜想。有人会说，不能这么评判问题，因为不知道未解问题背后到底藏着什么。显然这种思想是不对的，首先你要肯定一些大数学家是有鉴赏力的，知道一些问题后面必然不会有大结果，而有的不能确定。有些问题确实背后藏有东西而当前数学界可能没有意识到，就算有些问题被解掉后，数学家没看见一些重要意义的还是有的，因为当今的数学的发展还没能力把这种意义显露出来，比如球装问题，其实球装密度只是一方面，个人认为更重要的是几何上的对称破缺，目前的数学内容和进展还没有能力把它显示出来，其实像四色问题也是如此，完全有很重要的拓扑意义，但解题过程没有把四色问题的重要性给显示出来。庞加莱猜想的解题过程也没有将猜想本身的重要性给展示出来。因此，一个问题不能只看它的解决与否，更重要的是看它如何被解，是否有重要通用方法产生已及这个方法对数学而言有多重要。

有的数学研究者只关注解一个题本身，而不在乎用什么方法。另一类则是关注解题会带来什么方法而不在乎解题，解题只是一个副产品。我想，后一种研究者才是有质量的研究者。假设费马大定理用初等方法解掉，解题人能获得很高历史地位吗？肯定不能。其实像黎曼猜想那样难的问题，就算在初等层面有素数分布pattern，这种pattern也是极端复杂的，不能被初等方法本身消化，只有更难和高端的数学技术才能提取它。就现在看来，一个意义重大难题是不可能只花几页纸就能简单解决的。深刻的问题都要花几十上百页，甚至几篇论文去进行有效地拆解构造和分类。过去一些名题的证明后来被简化，那是一些新的数学构造和idea被搞出来后才行。如果没有这些构造，是不能简化的。如果算上被使用的构造，证明并没有简化。

一般被提出来的都是显式问题，它们最多是一流问题，黎曼猜想、hodge猜想都是最顶级的一流问题，将来某位一流的大师应该可以解决它们。超级巨匠问题基本为隐式，一般人都不知道如何提出，如何开始，如何进行。一般超级问题都是隐藏在一系列问题之中，并不会单独隐藏在一个孤立一流问题里。超级问题解出来后，必然产生重大通用数学构造，比如伽罗华利用解方程来发现群结构，庞加莱利用解n体问题发现拓扑结构，这些结构即使不通过解方程和n体问题一样可以被超级巨匠发现，只需要找到合适自己风格的问题载体。

当今还有超级问题吗？答案不言而喻，那么多一流数学家艰难前进而很多问题没法理解，甚至还发明某些技术去躲避。一流数学大师是没有能力去解决它们的，因为他们没有正确的直觉来导引到那里，不知道合理发问。超级问题只有碰到合适它的超级数学天赋携带者才会被解决。一流大师每个世纪都有不少，一个世纪不产出一个超级巨匠是不罕见的，上个世纪只有格洛腾迪克一个。

因此，提合理的问和发现重要构造的直觉是数学发展中不可缺少的。

酒哥

[八卦怪谈] 一些对数学领域及数学研究的个人看法（十二）
数学的偏见


作者：wcboy


1）国人的最长久偏见是将做学问跟做人联系在一起。学问好，人品败的最杰出人物不在少数。不少学问大家，献媚权贵，私生活混乱，挤压同行，争名夺利。

2）数学家比较刻板，不问窗外事，不浪漫。这个印象来源于数学家清心寡欲的专注工作，实际上，很多数学家是多心，花心，也在完全不相关的事上倾注不亚于数学的心思和精力。

3）科班出身的偏见。很多有名的大师不是科班出身或科班出身后不在学术圈内。不在学术圈内的人，其成功的代价比圈内人大得多。其实科班出身与否对大家来说不重要，重要的是，你的学习水平要达到超高的专业水平或超出绝大多数数学人。现代数学时期，格罗腾迪克，威腾就是例子，没有经历正规数学专业教育而直接就入高水平学术讨论班或交流。

4）名师出高徒的偏见。名师的主要作用不是出高徒，而是学生通过名师获取更优势的位置。很多人认为黎曼是高斯的学生，也许名义上是，实际上他是独立于高斯的。

5）学术水平与教学水平的正相关。绝大多数数学家是要教学的，但很多大数学家不是一个好老师，甚至口碑很差，有的数学家根本不想教学。数学成就才是数学家的衡量标准而不是教学水平。

6）勤奋工作与数学成就挂钩。数学是一个数学家的职业和兴趣，但每个人花在数学的时间不一样。作为职业，那是被迫工作，作为兴趣，那是主动拥抱。很多数学家有不少数学外爱好，甚至花时间要超过数学，但不妨碍出数学成就。高斯之所以勤奋，那是他半年或一年工作所得成就超过其他数学家一辈子的成就。如果他只要一个大成就的话，他根本不需要勤奋。他勤奋是因为他要成为数学和物理的全才。庞加莱很有规律工作，数学很放松，很保证休息时间，克莱因比他勤奋多了，基本没有休息时间。
过于勤奋容易头脑发僵，不利于思考。数学不需要太勤奋。

7）出成就和环境、工资待遇挂钩。如果一个人这样想，他基本不是出于兴趣对待数学。你出比较出色的成果后，待遇想不上都不行，而不是相反。作为普通教师这样想，是多替自己捞好处。但想成为杰出数学家，这样就玩完。

8）国人对基础科学的偏见。不明真相的绝大多数国人把科学等同于技术，不出经济效益，军事效益，就是无用，论文不产生具体成果就会被认为浪费资源。基础科学不是以为人类经济效益为目标的，做多经济进步是副产品。基础科学是用来探索自然的，不以功利为目的或首要目的，尤其对理论数学家或物理学家具体个人而言。但是现在很多人，包括很多学者，鄙视（应该很多是嫉妒）发SCI论文的人。论文是表现基础科学的唯一形式，重要论文的历史价值远大于有形物质文化遗产。可以理直气壮地说，基础科学就是要浪费资源的，一个文明的社会必须要容忍这种浪费。容忍整体浪费并不等于容忍个人浪费，不合适从事基础研究的个人，不应该在这个位置上呆。

9）过度用他人来励志自己学习数学。这是比较坏的想法，因为你自已没有那个名人等同的条件。纯数学研究行为不应该被鼓励，只要少数精英就够了，其他人就做一般中小学或非研究型学校教师或应用数学去做其他功利性事务就行了。

酒哥

[八卦怪谈] 一些对数学领域及数学研究的个人看法（十三） 千禧年数学难题



作者：wcboy



尽管Clay数学研究所提出七个重要数学难题，但是它们在数学中或数学家心中的分量并不相同。很明显，Riemman猜想，Poincare猜想和Hodge猜想在数学界影响更大，其中Riemman猜想排第一，Poincare猜想次之。

就个人而言，Yang-mills最重要，Poincare猜想次之。这涉及到物理、几何、拓扑、代数和数论的关系及评价问题。

Riemman猜想的直接目标比较狭隘，仅限于数论，就算Riemman直接解决了他自己提出的猜想，这个成就的重要性还比不上他的非欧几何和复Riemman面这两个成就。

Poincare猜想的直接目标也比较狭隘，仅限于拓扑，但拓扑的重要性要高于数论。当然不排除Riemman猜想在解题的过程中得到重要的几何或拓扑构造。解决Poincare猜想没有带来通用拓扑构造令人遗憾，因为它比Riemman猜想更有机会。但这不妨碍比较直接目标。但这个比较会引起代数尤其数论方面人的不满，因为谁不想被关注重视。

制造代数的目的是为几何服务，即便最简单的整数也是为离散几何服务。几何进展是创造代数的源泉，创造一个新代数结构必须为它找到几何新结构。哈代的纯数学无用论现在已经被否定。数学尤其几何仅仅是探索自然的工具而不是现实本身吗？随着物理发展，几何逐渐成为物理底层的解释基石而不是物理的应用，这就意味着几何本身朝着是宇宙的现实的方向发展。绝大多数或最重要的数学巨匠是数学和物理双栖，剩下的他们的成就都能找到物理实现。如果要到达顶级数学深度，必须在几何和物理上作出贡献。

物理的未来在于几何，而最深刻的几何和拓扑正隐藏在当代物理理论的冲突中，Yang-mills正是一个最突出的物理构造，而未来几何拓扑新构造需要通过它来透视。Poincare猜想只是这个纤维丛构造中的一个拓扑大类。现代数学首先面临新拓扑构造强力瓶颈，而它也导致一个新代数瓶颈。因此要求数学家首先要有几何洞察力，然后是代数解析力。可以说，现有所有厉害的数学构造完全无法对付现代物理更高层次困难，顶级物理学家的几何洞察力已经超过顶级数学家，很遗憾，尽管一些一流数学家在进入物理领域，但真的无法理解现代物理。

那些还抱着数学是形而上学的工具思想已经不适应顶级数学工具锻造的要求。没有突破性思想和构造，不可能有重大数学进展。

酒哥

[八卦怪谈] 一些对数学领域及数学研究的个人看法（十四）数学家和物理



作者：wcboy



数学和物理的纠缠是人类最重要知识财富发展见证。随着时间推移，几何和物理分离认识的观点（即几何形而上物理现实论）会被证明是错误的。从阿基米德、伽利略、牛顿引力、相对论及量子、最后到超弦，物理几何逐渐在底层合并。

在当今理论物理界，为什么Witten、Vafa、Nima和Penrose会被物理人羡慕，因为他们能同时通吃物理和数学。光熟悉数学是不够的，没有好的数学能力或极高的数学鉴别力（比如Weinberg，Coleman，爱因斯坦），没可能作出物理理论重大突破和认识。

最顶级的数学巨匠和某些厉害的准巨匠，没有一个不会对物理作出贡献，直接贡献或他们的理论构造在物理广泛通用的。Poincare，Guass，Newton，Euler，Cauchy，Lagrange、Laplace、Fourier直接双栖，Galois group，Hilbert space， 爱因斯坦-希尔伯特场方程、诺特的物理对称守恒双定理。
当代一些一流数学家也进入物理领域，比如Connes，Atiyah和丘成桐，他们只能说是熟悉物理，而不是较深理解。Connes用noncommutative geometry去构筑量子引力基本被物理学家无视，就如Smolin的loop quantum gravity理论一样，Smolin对几何的理解也不到位。物理的深度和几何的深度是共鸣的，Witten的理解目前来说是最深的。

如果Riemman能活到爱因斯坦时代，他应该比爱因斯坦先明白广义相对论，从他的论文最后文字看，他完全在内心预见了未来物理结构，只可惜没有实验数据来验证。

顶级数学巨匠也给顶级物理巨匠带来巨大挑战和压力，比如Poincare和Hilbert分别先于爱因斯坦得到更加数学形式正确狭义相对论尺缩方程和广义相对论场方程，尽管Hilbert物理理解不到位而Poincare只差毫厘。

到现在为止，gauge theory、量子重整化、拓扑场论的几何困难，对目前已经成名的数学家是无解的。

就个人观点，如果一个数学家试图用公理体系去构筑数学理论，则基本属于江郎才尽。最没用的数学东西就是公理，最有用的是计算构造,Riemman用一个计算构造摧毁了几何的公理体系，但Hilbert又试图建新的，最后失败。Euclidean平行公理的接受度高是因为它符合我们对现实的感觉，但是这种感觉被相对论摧毁。因此数学的构造仍然是讲实用，不实用就没生命力。正是实用限制我们胡乱建公理体系和胡乱抽象化。

酒哥

[八卦怪谈] 一些对数学领域及数学研究的个人看法（十五）逻辑和哲学的缺陷



作者：wcboy



逻辑在数学中效用被一般人和大多数科学人甚至不少数学家大大地夸大了，认为凌驾于数学之上。数理逻辑被赋予超过它价值的过誉名声。

从他们的文章来看，很多数学大家也只具有自然逻辑的水准，达不到数理逻辑人那种逻辑水平，难道这些人造逻辑强悍的数理逻辑人不比数学大家更有资格和能力获取重大数学成就吗？逻辑强并不等于数学强，相反在某种意义上，强大的习惯化的“人工逻辑”还会阻碍获取重大成就，这显示了逻辑是有缺陷的。

纵观整个数学成就的发展史，在一个重大数学进展中，数学直觉的重要性远远大于逻辑，关键突破总是来自稍纵即逝的灵感。直觉属于异禀的天赋，不是人人都有，而逻辑覆盖范围要广泛的多，而且僵化，天赋要求比较低很多，绝大多数人都有自然逻辑，人工逻辑非常程式化，并不难学，逻辑基本属于后天的。

Godel的工作在本质上宣告了人工逻辑的局限性。逻辑在无穷结构上碰到了它的致命死穴。逻辑不是万能的。逻辑产生于人对实际世界分化的认识，从本质上逻辑也产生于实用而不是高于实用。逻辑自产生起，就与哲学思考天生而自然的混在一起。哲学很大程度上是源于人自身价值观的需要，将初浅的价值观逻辑地与对自然和自身联系在一起。由于自然科学或数学开始的时候过于初浅而原始自然，哲学和逻辑甚至宗教就很容易渗透进来指导。然而更深入的数学进展，哲学和逻辑的割裂认识观的缺陷就被暴露出极大的隐患。如果两个非常主观的哲学人进行逻辑辩论，那么谁也不会被说服，一为逻辑可以诡辩，二为强烈的个人主观偏执狂的排他意识。显然这与数学和物理的要求是背道而驰，哲学没有自我进化功能，如果它否定自己就等于它完蛋。

逻辑和数学都源于实用，那么逻辑就不能凌驾于数学之上，因此数理逻辑那些形而上学的关于数学基础的内容苍白而实际作用基本为零。数学强大的实用不会为数理逻辑的数学基础所累。

数理逻辑只能在数学基本构造被建立后才会发生作用。比如在整数构造被建立后，只有基于整数的计算才有逻辑可言，而不是整数系是逻辑构造的，它是一下子被构造的序结构，不需要逻辑。逻辑只有在计算构造之后才起作用，而不是之前。计算构造源于对合适实用性的直觉。在数学进展中，直觉是第一推动力，逻辑是用来擦屁股的，是用来掩盖发现直觉的，是在拆脚手架，也就是给后来人学习用的。你不了解数学家的直觉，你就不知道脚手架工程是如何搭建的，你就不可能走进数学发现或发明的道路。

直觉就是对复杂性结构的掌控，并在万敌丛中取上将或元帅首级的快速能力，它是反逻辑的。

酒哥

[八卦怪谈] 一些对数学领域及数学研究的个人看法（十六）几何与几何人物



作者：wcboy



几何不如数论，代数和分析等那样细化，多样，抽象和机械化。显然历史上绝大多数数学家对数和抽象数的兴趣远大过对图形。数间关系很容易衍生推进，绝大多数数学家的数的敏感性高于图形洞察力。数比较抽象，而图形是形象的。数学家比较崇尚抽象美。3维空间以下的几何图形所有数学家甚至一般人可以不费力想象，但4维空间以上图形就只有真正的少数几何学家能看出图形门道。这种门道不是高维代数或分析方程或抽象群这样简单到数学家都能知道的东西。

在几何中，代数抽象远不如几何形象重要。如果一个数学家不会在脑袋里想象一个几何图形并看清楚它，他是不可能看到重要的几何构造的。正是这个缺陷阻碍了几何学家在高维图形上取得真正有效的 进步。几何构造比代数少多了，但远比代数构造难度大太多。一个几何重大构造需要一系列重大代数构造来联合表示。这就是在20世纪以前绝大多数数学家只喜欢3维空间中的1维和2维图形的原因，这也是当代数学家对高维代数及微分拓扑绝望的原因。能够看见高维几何结构并有效分析的人一定是超级数学天赋携带者。现代几何拓扑真正在等待一个不世出的巨匠给人展示如何看高维图形。

几何上的历史重大里程碑和巨匠人物。显然，坐标引入和微积分创建及微分方程并非真正地理解几何，它们只是几何的重大代数构造技术。
Euclid的几何原本只是初等几何的大杂烩和粗糙公理体系引入。欧几里得只能是一个引入者和整理者。第一个真正有意识并有效区分不同几何图形者是Apollonius在圆锥曲面上的曲线分类，它的分量贯穿整个几何历史并延伸到现在。

下一个高峰是Gauss，Lobachevsky和Bolyai的非欧双曲几何和Gauss的微分几何创建，Gauss对通用曲率和通用测地线引入才是真正几何构造的重大进展。三人中，只有Gauss才配称巨匠。

下一个高峰是Riemann的非欧几何和复几何。Riemann度量统一了所有经典非欧几何并最终在相对论中成为主宰。Riemann曲面使复几何多值结构在高维实几何中实现单值化，没有Riemann曲面，量子场论没法生存。凭这两个贡献，Riemann是无可非议的几何第一人，甚至数学第一人的候选者。
下一个高峰是Poincare的拓扑学。Euler，Gauss和Riemann都可看做拓扑学的早期引子，只有在Poincare引入同调和同伦后，拓扑结构才算真正创立，因为只有如此，才可能看到高维。但Poincare的基于同调和同伦的拓扑结构只相当于Gauss的非欧或微分几何水准，没有达到Riemann的非欧构造的深度，也就是粗糙拓扑结构。今后拓扑主结构一定是非Poincare构造。

最后一个高峰是élie Cartan，Levi-Civita，Ricci-Curbastro 和Christoffel的微分几何。尽管这个里程碑来得不如前面重要，但也是几何历史绝对里程碑。这些人中只有Cartan配巨匠或准巨匠称号。联络，活动标架，微分形式，和乐绝对补充了Riemann和Gauss在考虑曲率和度量结构遗漏的重大几何特征比如parallel transport。

Klein的Erlangen纲领是一个推动几何发展的重要步骤，但不是里程碑。实际上，两个图形的被认识在几何拓扑上是里程碑，它们就是Mobius带和Klein瓶，由它们引发的几何构造只有在这个世纪才可能认清，不只是非定向性那么简单。

在Cartan以后，个人比较欣赏的几何拓扑贡献来自于Edward Witten，Hassler Whitney，John Milnor，Heinz Hopf，Vaughan Jones和William Thurston。尤其Witten和Whitney。目前物理学家对高维空间的驱动需求远超数学家。数学家卡死在3维和4维流形上，以Simon Donaldson为顶。

Witten凭借其对数学和物理的通吃成为Poincare之后的唯一一个小级别的通才，他的M理论尤其体现了他的雄心，他一直想提升和超越superstring和量子场论中微扰技术的局限，但是他提取有效构造的能力明显也受到他的数学天赋的限制，注定达不到上面那些人的级别，甚至不如Grothendick，但他看到的东西的深度和广度要远超过Grothendick。在当今物理界数学能接近Witten只有Roger Penros。Penros对相对论理解不在Witten之下，天体物理要在Witten之上，但对量子论和凝聚态理解比Witten差太多，对全面物理的理解明显低于Witten。Witten的数学面比Penros要广，尤其代数几何和高维拓扑。但Penros的数学着重点不同于Witten，他研究的东西难度同样不低，也会在未来揭示不下于Witten数学的重要性，或者说他们以不同方式研究相同的数学和物理大结构，只是当代数学家还未意识到Penros重要性。总之他们走在不同方向上，但以后会发现他们之间的联系，不仅物理上，而且数学上。他们都在研究同样美丽的数学结构。

Whitney某些东西在以后的拓扑进展中会展示一些令人吃惊的重要性。其实他得到了某些东西，但他本人以及其他数学家还没完全理解，或者说数学界重视程度不够。

Hopf在某种程度上走在正确的路上，但现在人不能真正有效地推进他的工作。John Milnor在某种程度上也展示了有趣的东西。

下一个数学通才会将拓扑推到Riemann的高度，难度比Riemann大很多，并且很可能要像Poincare那样懂物理，不一定达到Newton高度。Einstein是瘸子，如果没人提供数学，他只能成民科了。

一个重大几何结构必然会覆盖广阔的数学和物理内容，只有天赋全面的超级人物才有能力做出综合判定。超级人物并非一开始就掌握所有数学物理内容。如果如此，看大量的书和论文将极大浪费他的时间，以至于他成为不了未来巨匠。因此，巨匠学习方法是不同于常人的，是边研究边学懂。即使他以前未接触过的内容，当他考虑到一定深度，他就自然理解了，不用看别人的书或概览别人的书（就更不用做大量无意义的浪费时间的习题，那些题根本不如他的课题重要，他只要解课题和课题相关的练手题），靠自己的天赋，理解比别人更深。就如Grothendick那样不需要看多少别人的书，他就写书让别人看。这就是靠天赋做研究的极端式方法，只适合于超级人物。如果你做出来的东西没有增进对已存在的主要数学物理结构理解，甚至粗暴地否定它们，可以说这样的人肯定是民科。因为未来巨匠一定会理解过去和现在巨匠的东西，他们能够进行心灵对话。比如未来巨匠不可能不理解Grothendick的主要构造概览和关键细节，比如Grothendick topology和motives cohomology， 当然他不需要理解所有Grothendick的细节东西，并不是所有东西都合理和有用。

一旦未来超级拓扑结构被弄出来，其包含的内容将远超过Langlands纲领所包括的内容，无论是几何方面或代数方面。这其中蕴含的概念可能与当代有更高层次冲突，并通过合理构造来取代当代概念，尽管从某些外形上可能“民科”（以现在观点），但实际内容大大不同，比现在有更有效更让人理解的实用数学构造，就是更真正增进对物理的理解和用新计算技术解决具体的数学“习题”。

酒哥

[八卦怪谈] 一些对数学领域及数学研究的个人看法（十七）物理，实验和数学



作者：wcboy



物理理论必须反应实际世界的运行。这是否是说物理模型完全由实验决定？那么历史上最成功的理论物理英雄是如何看待实验和数学在理论物理中的作用的？

我们必须信任实验吗？第一，不少人为拼数据作假；第二，精细而复杂的物理实验完全可能出错而很难发现；第三，有些实验是不可能做的；第四，有些实验都不知道往哪个方向入手；第五，即使实验出来了也不知道怎么处理。因此，要完全依靠物理实验来建立物理模型是不现实的，极其困难的前沿实验不能完全被信任。最厉害的物理大师有选择地捕捉到有价值的实验。Einstein对物理实验就是有选择信任的，比如狭义相对论只选择相信光速实验，而广义相对论基本与实验无关。Dirac的相对性量子模型则完全是数学美学的结果。很多物理学家强调数学美学在物理的极端重要性，比如Weinberg。目前的M理论就不是由实验建立的。

尽管标准模型能解释很多东西，但是物理学家完全靠实验来建立统一广义相对论和量子力学的模型基本上是不可能的，因为实验室的高能限制是非常明显的。实验不可能获取大爆炸的高能条件，即使满足弦论最低要求能量条件都几乎不可能。

自然界中同时存在两个正确而互相矛盾的物理模型，这不是自然界的错，而是物理学家迷失了重大拼图片。引力能否量子化，暗物质与能量能否解释，黑洞内部能否探查和多宇宙的存在性，实验基本不能达到目标。这些丢失的拼图唯有靠数学尤其是几何才能找到。物理模型的冲突在于我们几何理论的重大拼图的迷失，在连续的统一场中如何实现规范场的离散的几何量子化和拓扑化是关键。如果新几何不能完全弄出来，物理学家不可能从理论上解决他们的主要问题。因此，要么数学家弄出来，要么最强的物理学家同时变成最强的数学家。没有数学创造力和领悟力的物理学家在解决最基本的物理冲突中只能靠边站，发灌水论文。

只有整个物理模型建立在几何解释之上，理论物理才能摆脱它的唯象论成分而达到一个统一理论。也就是说，物理必须与几何统一，实验只提供具体参数。

不是所有的实验都是有价值的，不是所有的实验的价值是可辨认的。实验不是检验现实世界的唯一途径。有些现实世界是永远不能被有限实验检验的。在未来，所有理论物理学家都必须是数学家，而数学家不必是理论物理学家。

一个学科只有与数学结合越紧密，则越像一门科学，比如物理，计算机。像生物学那种几乎没有数学深度和门槛的学科，只是唯象论的经验，完全是一个劳动密集型的手工作坊，所以很容易靠枚举型实验发非常多的灌水论文，甚至随便都是“创新突破”一个生物学分支。所谓的交叉科学多半都是忽悠人的学科，它们是大工程而不是科学，数学门槛极低，当然对那些从事的人来说，他们是不会承认数学门槛低的，在他们眼里方程和分析就是高深了。

酒哥

[八卦怪谈] 一些对数学领域及数学研究的个人看法（十八）菲尔兹与诺贝尔



作者：wcboy



菲尔兹和诺贝尔被研究人员与普通大众推向神坛，获奖人被罩上牛人与神人的光环，在基础研究中具有顶级学术地位。很多人和种族和国家有严重的菲尔兹和诺贝尔情结，以菲尔兹和诺贝尔为基础研究的学术奋斗目标。
所有菲尔兹和诺贝尔获得者之间有不同等级，有些被它们漏掉的人比获奖人更厉害。诺贝尔奖还出现过错误，在多年后闹笑话。菲尔兹和诺贝尔靠少数人添光，比如Einstein，Dirac，Feynman，Grothendieck；而更多的人靠菲尔兹和诺贝尔增光，这些人的等级是不一样的，因此学术人是一定要分等级的。不分等级和谐一团来抹杀更牛人的功绩，一是人品问题（是自己种族就吹，非本族就贬），二是能力问题，三是分支偏心问题（与自己有关就吹，无关就贬）。学术研究不可能每年或每四年就出重大突破，大部分年份是平凡年，大部分情形是将奖项硬性颁发出去。重大突破具有随机性，并且不同人对重大突破的判定标准不同，大部分人将标准降得很低以便囊括尽可能多的人和自己中意的人和分支，或者大部分人因研究深度不够将一些人高估。
当代一流人物不等于历史一流人物，历史一流比当代一流有价值多了。绝大多数当代一流都不可能是历史一流甚至二、三流。每一次里程碑式进展让这些当代一流中的很多的历史价值急剧下降。比如很多分支领域中人造“大问题”在当代来看非常厉害，但以更大范围和更深研究来看，只有少数人才能看出这些人造“大问题”的狭隘。很多艰难无比的东西并不是好东西，这在数论中尤为明显。很多因为理论物理暂时用上的狭隘“重大”特殊几何和代数结构因为物理进展而会在将来的调整中被抛弃。

你可以跟踪菲尔兹和诺贝尔获奖者的研究，但不能将他们用来评判研究厉害程度的标准。当你自己的研究深度不够，你就跟在这些当代潮流后面随大流是有好处的。当你深度很高并以超过那些人时，菲尔兹和诺贝尔的评判标准没有任何意义。就本人而言，绝大部分菲尔兹和诺贝尔的含金量不高。一般人很多，当代一流就是其中，历史超级人物是少数，并且是不用十个甚至五个手指可以数出。因此，做基础研究不能大事宣扬突破创新的口号，一般突破不可能日新月异，甚至不可能十年新百年异，大部分人要安心做垃圾论文，并且要劝退有兴趣激情没能力天赋的不合适的人。

很多人看到基础研究十数年或数十年没重大进展，就下一些基础研究的到顶和超级天才不再出现的论断。历史超级天才百年才几个？甚至一个可能都没有。你活着看不见是正常的。

酒哥

[八卦怪谈] 一些对数学领域及数学研究的个人看法（十九）基础研究，工程科技，经济发展和研究强国



作者：wcboy



现在基础研究被泛化了，很多工程技术的东西都被冠以基础研究。基础研究主要往理论上靠，研究目标就是要去掉唯象论和经验而被数学化。同一个实验既可以支持理论发展也可以支持工程发展，实验是中立的，因此实验本身不能算基础研究。很多应用数学工具建模的学科与数学没有紧密联系，它们只能是工程技术。只有那些被数学化而变成不可分离的部分时，学科的基础化就越高。

基础研究就是一个学科数学化的过程，其学科本身对数学发展不可缺少。因此金融数学，生物甚至化学都不能是基础研究。只有数学和理论物理（而不是实验物理）是真正的基础研究，想一想理论物理中实验只是其一部分作用，剩下的都是数学。说到底，只有数学才算终极基础研究，因为理论物理最终会变成几何的一部分。

基础研究的目的是理解自然和宇宙，而不是直接去获得经济好处。进行有效基础研究的两个必要条件：对自然秘密的浓厚兴趣，自然赋予的天赋探究才能。

现实是很多没有数学含量的东西都往基础研究上靠，想沾光基础研究以引起世人注意来为自己拉经费和赞助。事实上，数学的研究费用很少，比起其他，可以忽略不计。

一个国家经济强大和先进，主要是它的工程科技的强大，而非基础研究的强大。一个基础研究世界第一的国家，其工程科技不一定世界第一，尽管工程科技要靠基础研究，但它可以应用那些已经存在的基础理论。

一个国家认为经济强大了，就能达到世界领先的基础研究，那是幻想。一个其精英人物从来没有思想自由和对自然渴望探究的基因和传统的国度不可能在基础研究中有太大的作为。即使美国，日本经济上强大，其数学研究比法国，德国，前苏联不如。

一个基础研究强国必须要有几个主要的一流强校和机构和自由思想的体制和崇尚科技的民众，比如普林斯顿高等研究院IAS，巴黎高等科学研究所IHES，剑桥，普林斯顿等。所谓一流强校，必须拥有一流当打之年的学术大师作为招牌。所以基础研究强国主要是比人才，没有几个超级和一流大师撑场，所谓研究强国一流强校就是空谈和笑谈而已。

美国经济这么强大，其本土也没有超级数学巨匠出现过，尽管一流人物不少。Grothendieck们只出现在法国。法国，德国，英国是历史最强的基础研究强国是因为他们人的基因和传统。即使它们退出政经舞台，它们的基础研究仍然不是他国所比。

以前经济不发达，基础研究搞不上去有借口，现在经济进入大国行列，基础研究还是搞不上去，仍然有借口，就是不愿承认自己不行。

Abel很穷没有固定工作还要养他的弟弟妹妹，Galois身处动荡时代，Gelfand身处前苏联，为什么他们能作出成就？现在国内很多人手握有研究巨资和一大帮助手还是无能，同时众多身处底层的研究人员还认为是自己的平穷拖累了自己的研究前途。为什么所有的人都不从自身上找问题而喜欢从外部找替罪羊，国人基因使然。

如果你穷抱怨，那么你可以不结婚，不要小孩，不要做房奴。如果不放弃，那么说明基础研究在你那里不重要，你的兴趣并不大。

如果你手握巨资或者不发愁的工资，你还抱怨，那只能是无能。人不承认自己无能是因为想要更多特权和享受名声。 金钱至上和学而优则仕是国人基因和传统，这样的人群无法在基础研究中有大贡献。基础研究是普世的，而不是特色的。

国内的数学家懂高深物理吗？国内的理论物理学家懂高深数学吗？国内物理人只会方程解析，国内数学人爱好数论。国内就根本没有同时对物理和数学深度理解的基础研究人。这样的环境能出一流人物吗？超级人物就更不用幻想了。为什么国内人要强调基础研究的多人合作？因为掩盖无奈。基础研究不是靠人海战术取胜，一个超级人才强过一大帮一流人才。独立研究是第一，合作是添加剂而已，可有可无。如果你强，合作者拖后腿，而且还有优先权之争。独立研究大问题是基础研究的最高境界。   

一个国家的基础研究很弱而研究人员普遍眼界很低的情况下，从基础研究强国引进人才是非常明智的，这是因为不能直接拥有一流大师就退而其次拥有大师的门徒而间接获取大师的思想和风格。问题是没有自由学术土壤和制度去清理那些特色的传统垃圾，引进也会被同化，比如学术欺诈，造假，抄袭泛滥。一个对知识产权不尊重的国度，基础研究也是不会被国人尊重的。

酒哥

[八卦怪谈] 一些对数学领域及数学研究的个人看法（二十）精彩的计算



作者：wcboy



计算本身就是数学的核心灵魂，没有计算的数学走不了多远，就变成耍嘴皮的哲学和文学了。历史上有几个精彩的计算篇章，并产生了几个令人叹为观止的计算天才。

在微积分时代，无穷级数和物理的计算竞赛导致了微积分的诞生，催生了一大批历史超级数学家和一流数学家，还有更多的二三流数学家。Euler，Bernoulli家族，Newton， Leibniz， Lagrange，Laplace，Fourier， Eisenstein，Cauchy， Poisson，Gauss， Ramanujan，Dirichlet等等。其中Ramanujan，Euler，Eisenstein和Gauss的计算能力尤为让人叹为观止。无穷级数的计算竞赛是历史上最惊人的计算。

下一个惊人的计算是Galois和Abel在五次方程可解性上的计算，最终导致现代群论的诞生。有限群的计算竞争达到最高潮，这绝对是人类仅次于无穷级数计算竞赛的一次精彩计算。

Poincare在天体力学的单人独力精彩的微分方程计算最终导致了现代拓扑学的诞生。

寻找素数规律的计算也是数学史上精彩的计算。这主要指黎曼猜想的最终形成和基于素数互反律的形成。早期在这上面进行工作的人必须进行大量的手工计算和进行数字观察实验才能提炼出规律，这在没有计算机时代是极端困难的工作。观察大量数字并找出隐藏很深的规律需要极端高的数感，只有惊人的计算天赋才能完成。

Ramanujan和Eisenstein在级数上的工作跟modular form和有限群分类和string theory都发生了联系，主要体现为最大魔群的月光猜想（monstrous moonshine）与超弦的时空维数的联系。这是一个非常美的和值得称赞的数学结果。

当然，本人不认同Gauss对Eisenstein的过誉评价，这可能与Gauss的数论价值取向有关。