介绍一种方法

酒哥

解偏微分方程的“连续性”方法

解偏微分方程的“连续性”方法是个使用得较多的、常常行之有效的方法。
丘成桐曾用这一方法解决卡拉比猜想及别的几个重要问题。
最近的重要突破“关于Fano流形上构造Kähler-Einstein度量（丘成桐猜想）”工作，
无论是陈-Donaldson-孙版本或是田刚的版本都是基于这一方法。
而其中的难点是下文所说的(ii)的闭集性质，即各种估计。
做出了这些估计实际上就解决了问题。

虽说早就不做数学为生活所迫改行，但过去念过的东西还没有完全忘记。
对仍坚守研究的朋友们，个人心怀敬意。对过去所学仍十分留念珍惜，
那是弥足珍贵美好的感情和体验。最近新年假期稍许有些空，就花了点时间
写了点东西介绍一下念过的“连续性方法”。意在为社会作点服务（service）。

引文“第三方专家对田刚抄袭事件的评价”只意在强大调的“连续性方法”在
问题中角色。个人并无意也无资格无水平也对陈-Donaldson-孙版本与田刚
的原创性、优先权等作出判断，虽然可能有自己看法。


假定我们要解一个偏微分方程问题“问题P”，还不会解它，但知道有一个经典的
（较为简单或显然的）的问题“问题I”是有解的。这时可尝试试用“连续性方法”
去证明未知的问题P有解。这方法如下。考虑t为参族一族的问题P(t)
用它们来连续地连接两头，一头是已知有解的问题I， 另一头是未知的求解问题P，
可选参数t在某一区间比如从0到1的数值闭区间[0,1]。
对每一介于0和1之间的数t,有问题P(t)，
而问题P(0)正好是问题I：P(0)=I，问题P(1)正好是要求解的P，P(1)=P。

要连续地连接这已知有解的问题与要求解的问题是容易的，方法也多。
比较简单的的是线性连接。比如 如果问题I是求解方程
Iu=f
中的解，其中f为给定， 问题P是求方程
Pu=f
中的u，那这时两问题的线性连接问题P(t)是求解
(1-t)Iu+tPu=f
中的u。这方程当t=0时正好是Iu=f，当t=1时正好是Pu=f。

已知有解的Iu=f和未知的Pu=f是两个不同方程，前者有解，后者未必就有解。
但在一定条件下，可以从前者有解推出后者有解， 比如，如果我们能证明:
(i)        从P(t )对某个0和1之间的t’有解可以推出有一个正数c, 使得P(t)对
介于t’-c和t’+c之间的所有t都有解；

(ii)        从P(t_1)， P(t_2)，。。。P(t_n)，。。。都有解并且t_n --> t_0可以推知P(t_0)
也可解，
则我们知道这时对于[0,1]之间所有t, P(t)是有解的，特别的，我们知道P=P(1)有解，
到这里。问题就解决了。

上述的(i)是说，如果在一点t’，  P(t’)有解那么在t’周围的（尽管可能很小）邻域内
的所有t，P(t)都有解。如果用S表示所有[0,1]上的使得P(t)有解的那些t所成的集合，
则上述(i)是说, S是（区间[0,1]上的）开集。

上述的(ii)是说如果一列使问题P(t_n)有解的t_n们有极限点t_0，这在这个极限点t_0,
P(t_0)也有解。上述的(ii)是说使问题有解的t组成的集S是（区间[0,1]上的）闭集。

那为什么证明了(i)（使问题有解的t组成的集S是区间[0,1]上的开集）及
(ii)（使问题有解的t组成的集S是区间[0,1]上的闭集）就证明了
[0,1]之间所有t, P(t)都有解了呢？即，使问题有解的t组成的集S实际上=区间[0,1]了呢？

这是因为如下推理。
开集在是区间[0,1]上的余集（即区间[0,1]去掉该开集剩下来的点所组成的集）是闭集，
闭集在是区间[0,1]上的余集（即区间[0,1]去掉该闭集剩下来的点所组成的集）是开集。
(i)表明使问题有解的t组成的集S是开集
(ii)表明使问题有解的t组成的集S是闭集，故其余集[0,1]\S是开集。
但S与[0,1]\S是开集并到一起正好应该就是区间[0,1]，并且两集没有共同点
（一是有解点集另一是无解点集）。

已知区间[0,1]是连通集。而任何连通集都不是两个没有共同点的开集的并，
除非其中的一个集是空集（没有东西）。

故上述S与[0,1]\S两者之中必有一个是空集。但已知S是不空的，因为P(0)=I已知有解，
0在S中。故[0,1]\S必是空集，因此S=[0,1],即对所有的[0,1]中的所有t, P(t)是有解的
特别地，所要解的问题P(1)=P是有解的。

因此解决问题P的问题转化为上述(i)中的开集性质和(ii)中闭集性质。
这些也就是附文中提到的开集性质和闭集性质。
通常(i)比较容易。难点在(ii)。这一般需要对问题P(t)做不赖于t的估计，
（比如说一个人的姓是实际上是不依赖于他的全名的，只依赖于其家族，
虽然可从他的全名知道他的姓，从中可推出他的家庭的其他一些事），
这样当t_n --> t_0才有可能把性质从t_n过渡到t_o上。

引文

发信人: aaniu (阿牛), 信区: Mathematics
标  题: 第三方专家对。。。的评价
发信站: BBS 未名空间站 (Sun Dec 22 01:57:39 2013, 美东)

第三方专家对。。。的评价
（英文版见http://bbs.netbig.com/thread-2629391-1-1.html）

胡森的文章（http://blog.sciencenet.cn/blog-87484-721234.html）讨论了近来丘成桐猜想的最新进展。这个猜想将正数量曲率凯勒-爱因斯坦度量的存在性与代数几何稳定性联系起来。

这里的稳定性概念是Donaldson引入的“K稳定性”（田刚有一个更早的弱化版本）。“
凯勒-爱因斯坦流形是K稳定的”这个事实归功于许多人的工作（Donaldson, Stoppa,
Szekelyhidi, Berman...），所以关键的难题是证明K稳定性蕴含凯勒-爱因斯坦度量的
存在性。

从2009年开始，Donaldson提出一个纲领来攻克这个猜想。他最初的尝试（如[Don-
Atiyah], [Don-KEY], [Do-NW]中所解释的）依赖于他和陈秀雄（[Don-Chen1], [Don-
Chen2]）所证明的某些关于凯勒-爱因斯坦度量的的体积估计（Cheeger-Naber独立得到
类似的结果）。不过，在2010年左右Donaldson（[Don-Stab]）意识到这个方法行不通
。于是他转而尝试另一种方法，即研究带有锥形奇点的凯勒度量。这在文章[Don]中有
详细的研究。特别的，他描述了一种新的应用锥形凯勒-爱因斯坦度量来构造光滑凯勒-
爱因斯坦度量的连续性方法。不难证明这种连续性方法的开集性质，但是闭集性质仍然
是一个关键的问题。

关键的突破来自于Donaldson和孙崧的文章[Don-Sun]，其在光滑凯勒-爱因斯坦度量的
情形，成功地将Gromov-Hausdorff极限与代数几何极限联系起来。这是长期以来阻碍这
个领域的专家想要解决丘成桐猜想的关键难点。特别的，Donaldson立即与陈秀雄和孙
崧开始合作把这一结果推广到锥形凯勒-爱因斯坦度量，以期解决丘成桐猜想。

这时田刚意识到Donaldson的纲领即将获得成功（田刚自从1997年以来对这个问题没有
任何实质性贡献），他立刻写了一篇基本上抄袭 [Don-Sun]的短文，而且只给了很少的
细节，并在2012年9月IHP的会议上散发，见如下链接
http:// www.ihp.fr/ckgeom/tian_ga麇輂_lecture.pdf
后来田把他的文章发表在Commun Math Stat 1 (2013), 105--113, 见
DOI 10.1007/s40304-013-0011-9

毫无疑问田并非独立证明这些结果，因为其方法与[Don-Sun]完全相同，而且田的文章
在[Don-Sun]的文章公开后很久才完成。

2012年4月Donaldson在爱丁堡和剑桥的报告中，描述了他在丘成桐猜想的工作进展，并
解释了关键的步骤。之后田刚在2012年10月Lawson会议上做了非常类似的描述，宣称基
本上完全相同的关于丘成桐猜想的证明。陈秀雄-Donaldson-孙崧很快公开了[CDS]宣布
他们的完全的证明。接下来的故事在胡森的文章中有很好的描述，在此不再重复。

胡森的文章通过详细比较，表明田刚基本上抄袭了陈秀雄-Donaldson-孙崧的工作，而
且田经常略过关键的细节或者给出错误的论证，并在陈秀雄-Donaldson-孙崧的详细文
章公开后，多次的修改或补充细节。我同意胡森的观点，即田刚宣称证明丘成桐猜想的
文章不应得到任何荣誉，丘成桐猜想的解决应该完全归功于陈秀雄-Donaldson-孙崧。

既然这个领域的许多年轻人以及其他领域的学者可能并不知晓这些发展，我认为胡森的
文章在这方面做了极好的贡献。