从兰开斯特战争方程开始的军事胡扯

心相随

[size=14.0000009536743px]近代战争理论中，有一个叫做兰开斯特战斗力计算方程的东西。

[size=14.0000009536743px]　　经常逛铁血网或者做游戏数值的大概对这货很熟悉。

[size=14.0000009536743px]　　兰开斯特战斗力计算方程分为两个版本，分别是线性律的远战公式和平方律的近战公式。

[size=14.0000009536743px]　　下面，就让我们用这货来玩一点变态的东西吧。

[size=14.0000009536743px]　　我们先看兰开斯特近战公式。

[size=14.0000009536743px]　　假定，红军有x人，蓝军有y人，这里x和y都可以写成时间的函数，因为所谓交战就是红蓝相互杀对方的人。

[size=14.0000009536743px]　　然后，假定红军的单位作战单位的战斗力为a，蓝军的单位作战单位的战斗力为b，那么双方人数的变化就应该是这样的：

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[size=14.0000009536743px]　　兰开斯特近战定律

[size=14.0000009536743px]　　这就是著名的兰开斯特近战方程。

[size=14.0000009536743px]　　这个方程当然可以有解析解：

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[size=14.0000009536743px]　　这其实就是两条双曲正弦曲线，只不过写成了指数函数的形式，因为这样更加便于分析。

[size=14.0000009536743px]　　两个解的第一部分都是随着时间而降低的函数，本身没什么问题，有趣的是第二部分，这个部分不看系数而只看指数部分的话，我们知道是一个随着时间而快速增长的单调增函数，而结合系数之后我们就知道，如果sqrt(a) x_0大于sqrt(b) y_0，那么y最后肯定会在有限时间内降为0，从而蓝军被全灭；而如果反过来，那么x最后肯定会在有限时间内降为0，从而红军被全灭。而，无论哪一方被全灭，剩下来的一方的兵力数量为：

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[size=14.0000009536743px]　　这里分母上的a|b表示如果红军胜利则选a，如果蓝军胜利则选b。

[size=14.0000009536743px]　　也就是说，两军的战斗单位数量的平方乘上单位战斗力是一个近战过程中的决定性因子，或者也可以说：军队总战斗因子正比于战斗单位的数量的平方。

[size=14.0000009536743px]　　这就是近战的兰开斯特平方律。

[size=14.0000009536743px]　　让我们回到原始的微分方程。

[size=14.0000009536743px]　　这里真正有价值的问题是：为何方程是这个样子。

[size=14.0000009536743px]　　解出方程不过是细枝末节，了解方程为何是这个样子，它背后蕴含的道理，这样才有助于我们将问题拓展推广出去，比如考虑降龙十八掌与六脉神剑的战斗方程，或者00高达与RX-78-2的战斗方程，就都可以以兰开斯特方程为基础做出推广。

[size=14.0000009536743px]　　【嗯，似乎什么奇怪的东西混进来了……】

[size=14.0000009536743px]　　让我们先建立一个简单的模型——对，物理的本质就是玩命地建立模型，大家把这句记下来。

[size=14.0000009536743px]　　我们现在有一个网，总共有x+y个节点。每个节点记为p_i，或者在不会引起误会的时候就可以简记为p。

[size=14.0000009536743px]　　每个节点都与部分别的界都有线相连，相连表示具有攻击或者被攻击的可能。

[size=14.0000009536743px]　　于是，每个节点p的“邻点”记为集合{N_j}，其数量为N_p。在这N-P个节点中，敌军数量为E_p，友军数量为F_p，从而p节点受到攻击的概率正比于E_p。

[size=14.0000009536743px]　　但是，并不是每个E_p都会攻击p，因为一个人不能同时攻击{N_j}中的所有敌军，一次只能攻击一个。因此，E_p中的敌军q攻击p点的概率反比于q的邻点中的的敌军（从而就是p的友军）数。

[size=14.0000009536743px]　　然后，每次节点p收到节点q攻击的时候，都会有一定的概率P(p,q)造成节点p的死亡。

[size=14.0000009536743px]　　知道了这些，我们就可以建立一套方程了：

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[size=14.0000009536743px]　　这里左面的Δx表示的是单位时间内被消灭的单位数，X表示当前时刻还可活动的战斗单位节点集。求积的部分是没有被击中的概率，从而累积求积就可以给出一个战斗单位的总生还概率，因此被求和的部分就是单个战斗单位被消灭的概率，求和结果就是总被消灭数。

[size=14.0000009536743px]　　当然，需要注意的是，这里给出的是被消灭单位数，要真正写成差分方程的时候这里就要给出一个负号。

[size=14.0000009536743px]　　这个方程的使用范围比此前的兰开斯特近战方程要广，因为这里每个节点的邻点集其实可以涵盖各种方面的问题，比如由于排兵布阵导致的局部优势等等。

[size=14.0000009536743px]　　当我们考虑一个最平均的状态时，即当我们认为两军的所有作战人员都进行了充分的混合，每个节点都和别的节点一样的时候（物理上将这种理想化方法称为“平均场方法”），上述差分方程就可以写为：

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[size=14.0000009536743px]　　这就是著名的兰开斯特近战方程的差分形式。

[size=14.0000009536743px]　　接下来考虑阵型对近战的影响。

[size=14.0000009536743px]　　在最初的方程中，最外面的那个求和其实就表示，每个节点的情况可能是不同的。

[size=14.0000009536743px]　　下面，让我们将x军的节点分为两类，一类是与敌方y有接触的节点，一类是不与敌方y有接触的节点。因此，显然对于第二类节点来说，他们就不会受到伤害从而死亡，因此只有第一类节点是需要在求和中被考虑的。

[size=14.0000009536743px]　　接下来，我们对第一类节点采用平均场方法，于是就可以得到这种“边界交锋”形式的兰开斯特交战方程：

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[size=14.0000009536743px]　　这里的y_edge就是y的第一类节点的数量。之所以叫边界edge，因为现在可以看成双方只有在边界上有接触，从而发生相互作用——厮杀。

[size=14.0000009536743px]　　因此，很显然的，如果可以保持军队在交锋的局部占有优势，那么就可以通过局部战斗的优胜来扭转整体上的不足。

[size=14.0000009536743px]　　比如说，x总共只有100人，y有200人，双方的单位战斗人员战斗力相等（也就是P_x=P_y），那么当双方进入完全混合的均质状态时，很显然x是处于下风的，会被很快地消灭——这就是兰开斯特平方律。

[size=14.0000009536743px]　　但，如果x通过合理的地形与阵型运用，将y包围起来，只有边界上的人可以与x的部队接触，而y的边界只有10人，全部地承受来自x所有人的攻击（近战体位也就是N_p的极限当然不可能允许10人干一人的情况发生，这里只是举个例子），那么在边界上x是占有绝对优势的——100人干10人，于是战况就变成了每次x都是以人多欺负y的人少，最后将y全部消灭。事实上在这个过程中，y死完边界上的10人，x的代价是死0.51人，于是每一轮都是这样，结果就是x没死光，但y死光了。

[size=14.0000009536743px]　　这就是局部优势。

[size=14.0000009536743px]　　当然，在近战的时候，能用上这种局部优势的情况不多。

[size=14.0000009536743px]　　比如平原上的两军硬推，除了一开始会有一段边界遭遇的情况，此后很快就演化成了充分混合的匀场状态，回到了最开始的兰开斯特近战方程的领域。

[size=14.0000009536743px]　　在比如峡谷里的遭遇战，此时的确会有两类士兵的分化：遭遇边界与内部，但此时遭遇边界上双方士兵的数量其实是相近的，在纯近战的情况下，大概更考验的就是双方单兵战斗力以及前后两排人的协作与部位能力了，人数已经不是重点。[size=14.0000009536743px]