顶级俄国数学家是怎样炼成的？

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作者  张羿（数学家、逻辑学家）

在过去的半个世纪中，俄国的顶尖大学产生了全世界近25%的菲尔兹奖得主。科研与教学相结合是俄式教育的一大亮点，也是其能培养出大批非常年轻的顶尖科学家的原因之一。此外，俄国的科研院所气氛宽松自由，所谓领导的任务就是制造环境、创造气氛，使研究人员不受外部环境的干扰，全力投入到研究中去。上世纪50年代，中国基本照搬了苏联的科研教育体系，但我们只抄来了形式，并没有真正地将如何协调、配合、鼓励创新的俄国精髓学到手。


俄国的精英教育起源于彼得大帝时代。我们熟知的莫斯科大学、圣彼得堡大学，包括今日的列宾美术学院等等[1]，从建成的第一天起，其目标就很明确，即培养西式精英人才。这使得俄国在过去一段时间里，在科技、艺术、文化等几乎各个领域都产生了大量的明星，成为世界上唯一一个可以和美国拿奖数量相接近的超级大国。其在昔日帝国时代提出的“我们要向欧洲学习，但我们一定要超越欧洲”的口号激励着一代又一代的俄国青年在各个领域努力成为精英。

俄国的精英教育基本上学自法国模式，只是它的规模更大、更系统，且目标更明确。俄国人把这一系统用在人文、艺术、体育，乃至科学等各个方面，尽管因为专业的不同而略有调整，但基本思想是一致的。

下面笔者将以数学为例，简述这一教育系统。对于数学精英，俄国人大致是这样定义的：

首先，他应该在约22岁时解决一个众多著名数学家都不能解决的大问题（即证明大定理），并将成果公开发表出来。这个问题/定理有多大，也多少决定了他未来的成就有多大。
在30-35岁时，在前面解决各种实际问题的基础上建立自己的理论，并为同行接受。
在40-45岁，在国际学术界建立自己的学派，有相当数量的跟随者。


培养数学精英，从初中开始


俄国中学、大学的精英教育基本上是为学生能够达到第一步而设计的。但同时，它有各类的文化教育、社会教育等等为后两步打基础。
俄罗斯的精英教育始于初中阶段。以数学为例，在学生小学即将毕业时，他们可以从全国公开发行的一本数学物理科普杂志Quant (KBAHT)[2]中得到一份试题。学生可以把自己做好的试题答案寄到其所在城市的指定部门，再由专家评阅试卷，成绩得出之后，城市的指定部门再组织对通过笔试的同学进行口试。对学生进行口试的人员包括中学教师、大学教授及科学研究所的研究人员。被选中的同学将进入所谓的“专业中学”（如果是数学，即数学中学）学习，三年以后初中升高中时，将有一次考试（淘汰），弱者将转入普通高中。

在莫斯科或圣彼得堡这样的城市中，一般都有四、五所这种以数学为主的中学。在这里，学生们将接受普通的中学教育（包括相当多的文化、艺术以及其它的基本科学知识课程）以完成其人生必备的基本知识，但一半左右的时间将花在数学学习上。每周他们还有两个下午去城市少年宫，在这里，有俄国的顶级数学大师[3]，如Andrey Kolmogorov（柯尔莫戈洛夫，1903.4.25-1987.10.20）、Iserale Gelfand（盖尔范特，1913.9.2-2009.10.5）、Yuri Matiyasevich（马蒂雅谢维奇，1947.3.2-）等等，为他们讲授数学课。这些课程的讲稿经过整理后也大都会发表在Quant这一类科普性质的数学物理杂志上。这一杂志影响极广，在欧美世界有着众多的读者，包括大学教授、中学老师、学生等。这种少年宫课程一般都设计得深入浅出，与前沿数学研究中重大问题的提出、现在发展的阶段乃至其解决紧密相联。为了让学生理解并掌握好内容，科学院联合大学一起为这一类课程配备了大量的助教，这些助教一般包括大学三年级以上的数学系学生和各级大学教师、科研人员等，并且他们以前也都是毕业于这种数学专业中学的学生，基本上每三位中学生配备一位助教，这特别类似于法国巴黎高师中的辅导员（tutor）。

夏天时，数学中学的同学们还将在老师的带领下去黑海海滨等地的度假圣地参加夏令营。在那里，他们一边学习提高，一边玩耍。同时，他们会遇到国内其它城市地区乃至部分外国来的数学中学生，大家可以彼此增进了解，几年下来，慢慢会形成一个所谓的圈子[4]。在夏令营中，还有众多来教课、辅导的科研人员、大学生、中学老师等等。笔者认识的许多俄国著名数学家（有的已在上世纪90年代移民西方了）都会在夏天时去这些夏令营辅导学生、认识学生，同时去发现那些有才华、有潜力的中学生，以吸引他们进入数学研究领域。有些极有才华的中学生正是通过这种方式在高中时就和科学院或大学中的科研人员建立联系，并进入他们的讨论班开始做研究工作的。

因为这一制度，有许多知名的俄国数学家在18岁上大学一年级时（或在此之前）就取得了重要的成果，并且将论文发表在国际顶级数学杂志上。该制度激发了优秀“天才”少年的活力，使他们能有用武之地，这一点是极其重要的！俄式教育强调基础，无论是在科学，还是在体育、表演、艺术等诸多方面都非常出色，这一点也为中国人所熟知，但它还有我们不了解的另一面，就是更注重实践。在数学（乃至大多数科学领域）上就是鼓励研究、创新，去解决实际问题、大问题。

另一点值得指出的是，数学中学与少年宫、数学夏令营的教育本身也是一个系统工程。它把中学数学知识、奥林匹克性质的数学竞赛技巧、大学各门数学课程的基本数学理念与思想、前沿问题等等巧妙地结合在了一起。它使得一小部分学生从高中转入大学以后，立刻就能进入研究状态并开始实质性有意义的研究，即攻克著名数学难题。从高中进入大学以后，这些数学学生中只有少数人能剩下来，继续作为潜在的专业数学家被培养。在我们熟悉的莫斯科大学、圣彼得堡大学等部分高校里，每个学校会有一个由大约三十人组成的“精英”数学班来继续这部分人的数学学习与研究。笔者在此想指出，这些大学的数学系中当然还有众多别的数学学生，但他们的培养方向、要求等各方面都是不一样的[5]，甚至他们将来的毕业文凭都是不一样的[6]。

对于这些所谓的精英学生（乃至一般的普通学生），他们在选课学习上有相当大的自由度。例如，莫斯科大学、圣彼得堡大学的学生，可以去科学院的Steklov（斯捷克洛夫）数学研究所的专业讨论班中去学习，还可以去别的大学中修习一些本校没有开设的课程，甚至可以去别的学校（科研院所）选择自己喜欢的教师的课程等等。同时，他们也可以在一入大学（甚至在入大学之前），就跟从科学院的研究所中的一些科研人员进行研究、写论文等。这种科研与教学相结合的模式是俄式教育的一大亮点，也是为什么苏俄能够培养出大批非常年轻的科学家的原因之一。

等大学二年级结束时，这三十几位精英学生的大部分已在学习过程中被淘汰了，只有5-6名能剩下来，此时他们基本都已证明了可以令他们终生为之骄傲的定理，并开始撰写论文，且都已将论文发表出来了。他们活跃在名师的讨论班里，向着新的目标前进。他们的前程在此时也已基本上根据这时的成就而多少确定下来，即成为研究型的数学工作者。

笔者想在此指出，在俄国研究型大学的数学系中，有相当数量的课程供学生自由选择，绝非像我们的学校那样强迫学生去学那些必修课、限制性选修课乃至公共课[7]。而许多做出过好的科研工作的数学学生甚至可以免掉大部分的课程，以保证他们在黄金创造期间不停地去深入研究学术。许多俄国大数学家是在副博士毕业以后留校任教期间通过教书来学习普通大学生必须掌握的数学知识的[8]。


攻克难题，成为精英的关键一步


在俄制大学中，被选入精英小组的学生在二年级下半学年（第二学期）将按要求在一个学期左右的时间内完成他们的第一篇学术论文。对数学而言，这篇论文的结果必须是解决学科中的某个重要公开问题，而回顾、综述之类的论文是不允许的。论文成绩的好坏也基本上决定了该学生的学术前途，即是否能进入科学院的顶级研究所成为研究人员，或进入俄国顶级大学成为教师，等等。值得强调的是，在俄式数学精英教育体制中，要求学生（或未来的精英数学家）必须在22岁左右公开发表论文正是由这一在二年级下半学年结束时写出论文的措施决定的。该措施能够得以施行，对老师、学生的质量都有相当高的要求[9]。

这里例子有很多，比如Kolmogorov将希尔伯特第13号问题给了Arnold（阿诺德，1937.6.12-2010.6.3，曾获克拉福德奖、沃尔夫奖），Sergey Maslov将希尔伯特第10号问题给了Yuri Matiyasevich等等。解决这类数学问题本身是任何一位数学家都想得到的荣誉，我们完全可以相信Kolmogorov和Sergey Maslov本人对如何解答希尔伯特第13号、第10号问题是根本不知道的，但他们对自己的学生的数学能力有着相当的了解，故此可以直接了当将问题告诉学生。对学生而言，拿到这类问题之后的前途基本上有两种：一是把前人有关该问题的部分结果作些修补，再添些新的部分结果；二是直接了当地将问题彻底解决掉。选择后者的学生很难从老师那里得到真正“具体”的帮助，因为老师也不可能知道答案，但作为老师，他知道前人失败的教训，知道问题难在哪里，为什么有些路走不通（或者可能走得通，但在什么地方必须克服什么样的困难）。更重要的是，这些伟大的数学导师们作为国际数学家核心圈子的成员，他们对问题是否到了该被解决的时刻本身有着敏锐的的洞察力与基本直觉，这一点对圈外的人而言是很难觉察到的。故此他们可以在对学生有相当了解的情况下将问题在合适的时机告诉某个学生，并期望他（她）能成功地解决问题[10]。

对于精英小组的学生们而言，二年级下半学年的论文选题是他们步入学术界最关键的几步之一。可以说，他们为此已经作了多年的准备。此时，他们要在自己诸多非常熟悉的老师们当中选择一位作为自己今后多年的导师。一般来说，每个学生会在听课、讨论班以及私下接触的基础上先去和三位（有时甚至是四位）老师进行接触，慎重考虑他们给出的研究问题，并同时要考虑多种其它因素，如自己是否愿意和某位老师长期共事，大家性格是否合得来等等。当然，学生此时首先考虑的是自己的兴趣，然后是从老师那里得到的题目的难度，以及自己有多少把握等等。但老师的非学术因素，如人品、性格、爱好，在此时也对学生的选择起着重要作用。

在经过极其慎重的考虑之后，学生最终自己作出最后的决定。对于一位18-19岁的青年人来说，这一选择并不容易。其实，在俄国的知识分子家庭（或世家）中，在这样的关键时刻，许多时候学生父母的意见是很重要的。有的时候，学生也会听取他本人从中学时形成的那个精英学生圈子内的“学生长辈”或是他（她）曾经的tutor(辅导员)们的意见。选择什么样的题目、进入什么样的领域或哪一个分支等等，这些对学生来说，有时候是很难把握的。尤其对于某个学科将来的走向，或者某些新兴学科的前途，学生不仅要经过慎重思考，许多时候也不得不多方咨询之后，才能作出决定。另一方面，有的学生不仅志向高远，而且有极其超常的能力和解决问题的欲望，他们会选择最艰难的著名问题，如我们前面提到的Arnold、Matiyasevich等人。但我们必须指出，这种选择是有其冒险性的，我们知道的只是成功者的姓名。笔者遇到过一些失败者，他们早已被普通人忘记了，只有他们过去的同学或曾经的学生们还记得甚至欣赏他们的才华和勇气。

尽管对某些人来说，俄国精英教育机制是残酷的，但无可否认，这一制度产生了大量的年轻精英人才，成就了上世纪苏联科学界一个群星灿烂的时代。


研究所与大学合力，保障精英教育


在拿到副博士学位以后，俄国的科学家们开始进入大学或研究所“正式”工作。与法国一样，如果他们要拿到相当于大学教授的高级职位，必须要再继续努力，写出所谓的“科学博士”论文。需要指出的是，俄国的科学博士论文水平极高，如果不是解决行业中的顶尖大问题（从数学上讲，应是拿到菲尔兹奖级别的工作），则必须是建立理论体系的大工程。以数学为例，美国数学学会专门组织专家将所有俄国数学方面的科学博士论文翻译成英文，可见对它的重视程度，同时，也是对俄国数学的尊敬[11]。

俄国的大学与科研院所是一个大型的系统工程，为俄国精英在毕业以后的发展，也为年轻精英的培养提供了舞台、条件以及各种职业上的保障。中国在上世纪50年代时从苏联基本照搬了俄国模式，但是，我们只抄来了形式，并没有真正地将如何协调、配合、鼓励创新的精髓学到。

在俄国的主要高等教育发达城市（如莫斯科、圣彼得堡、新西伯利亚、喀山等）中，都有大学（包括综合性大学、师范类院校、理工大学以及各类更专业的工科、文科、艺术院校）以及一些科学院的研究所。大学担负着教学任务，而各种研究所是科研潮流与时尚的引领者。俄国大学中的许多老师一般都在研究所中担任一定的正式职位（有半职的，有四分之一职的），在完成教学任务以后，他们都主动去研究所参加各种科研活动，并辅导在所里学习、研究的年轻学生们。这一办法使得研究所里的教师和大学里的学生都有了更多的选择，比如圣彼得堡大学的数学老师可以通过Steklov研究所来正式辅导圣彼得堡师范大学的数学学生写作论文，指导其进行研究；Steklov研究所的研究人员可以指导俄国各大学的数学系学生进行论文写作、研究，这样可以使有限的教师资源得到更合理的配置与利用。

从另一方面讲，科学院的研究所里的科研人员大都会在当地的大学中兼职授课，有的资深学术大师同时还是大学里的教研室主任，通过教学（包括对大学教师的直接影响、接触等）来传授他们的学术见解与理念。通过在大学中教课，他们也可以及时发现有潜力的学生，将他们及早地吸收到科研队伍中来。与此同时，研究所本身还举办各种讨论班、演讲、系列课程等，这些活动大都安排在下午5:00以后，使得周边的大学、中学的专业教师和有兴趣的学生能够找到时间来参加这些活动，为他们提高自己的科研水平创造机会。研究所与大学既竞争又合作的互动关系是我们当年没能从苏联学到的东西[12]。

中国在上世纪50年代向苏联学习，照搬照抄了苏联的高等教育模式，将苏联的教材、课程设置等一律搬过来。然而，我们好像没有学到俄式教育的灵魂[13]。其实，俄国大学尽管设置了这些课程，用的教材我们也曾用过，但如何教、怎么教才是最关键的。比如在圣彼得堡大学，学生的基础课都是由一流的有过辉煌科研成果的资深教授来讲授的（比如逻辑入门课常常由Yuri Matiyasevich讲授，几何介绍由Yuri Burago（布莱格）讲授，传统分析由Sergey Kisliyakov讲授等）。他们在讲授这些大学入门课时，也绝不是照本宣科，而是结合着当代的研究潮流与最新成果一起来讲授。同时，他们在讲课时对所讲的内容不时作出判断、评价，并指出新的研究问题，这才是课程真正的精彩之处，这些也是课程的核心和灵魂。对于书上的内容，学生自己要花时间去读去想，每门课程还配有习题课，习题课的老师一般是中年或青年教师，他们在专业研究领域极其活跃，具有过硬的专业技术，同时也愿意花大量的时间与学生去想一些艰难的技术问题。在学习正常基础课的同时，学生可以自由地去修习各种讨论班。在莫斯科大学、圣彼得堡大学这些顶级学校的数学系中，各种专业的数学讨论班每年有不下一百个，为学生提供了丰富的选择[14]。正是这种自由的学术空气激发着年轻学生的热情，同时，也为教师的科研提供着动力。

无论是在科学院还是大学，教课或领导研究的老师要对学生（尤其是精英学生）有足够的了解，即对他们的科研潜力、兴趣等都要有正确的估计。如前所述，俄国学生如果要进入职业数学家的圈子，就必须在22岁左右拿下大问题（这个问题一定是行业内的著名难题，且被别的名家试过而没被做出来的）。学生固然要战胜挑战，但老师在这里的作用（包括选题等）是必不可少的，如何指导学生达到这一步，对老师的智慧也是极大的挑战。

而在另一方面，大学与科研院所也要在制度上提供各种保障。尽管我们看每位成功的俄国数学家（科学家）好像各有各的故事，有些人甚至还常常与领导发生各类冲突，但总的来说，俄国的科研院所是相当宽松自由的，而科研院所的所谓领导们的任务就是制造环境、创造气氛，使研究人员不受外部环境的干扰，全力投入到研究中去。以著名的Steklov研究所为例，该所五年才考核一次，常有人五年什么成果也没有，甚至十年过去了还没有，如果一个研究人员十年没有一篇论文，他/她也只不过到所长那里去解释一下，他/她在这段时间里到底在做什么，思考什么问题，遇到了什么困难等等。据说Steklov研究所还没有出过一个一事无成的研究人员，如果有什么人写的文章不多，他必定是做出了可以载入史册的工作（如Yuri Matiyasevich、S. Adian、G. Perelman），或者他培养出了一群星光燦烂的学生（如Yuri Burago）。

不难看出，源于前苏联的俄式精英教育系统要远远比法国的复杂，并且它是一个牵涉到中学、大学、科学院乃至许多政府职能部门的一个庞大的系统工程，它的投入以及对各种人力资源的调用是相当巨大的。如果我们要学习这一系统，不可能是某个大学、某个地方（大概除北京以外）可以去仿效的。尽管我们在建国初期模仿了苏联的教育系统、科研院所模式，但直到现在，我们也没能积聚起如此大量的高级人力资源。所以，我们能做的也只能是像美国或其它欧洲国家，如英、法、德乃至日本那样，以各种方式引进其高端人力资源为我们的科研和教学服务。

注释

[1] 俄国在彼得大帝改革之时，早就有着自己的文化传统，然而彼得大帝的改革是要将俄国拉向西方，建立大学也是为了培养西式人才。俄国大学（如莫斯科大学、圣彼得堡大学等）从一开始就与旧的俄国传统文化无关，而且从一开始，就定位在培养顶级精英人才。在学生来源上也是这样，宁缺勿滥。据笔者所知，圣彼得堡大学刚开始创办时，学生的人数少得可怜，只有7人。但同时，为了培养真正的人才，学校的大门又是向全社会敞开的，即便是农奴，只要有才，也可以进入大学学习，并得到各类资助而成为大师。例如，18-19世纪的Andrey Veronikin就是一位农奴出身，最终因其在建筑、艺术等多方面的成就而被选为俄罗斯科学院的院士，成为永垂史册的人物。类似的例子很多，这是笔者知道的最典型的一例。从大学创建之初直至今日，对传统俄国文化的学习仍在继续，但大学等当时的新生事物建立在圣彼得堡，所以新、旧两种教育体系基本相安无事，但切割得很清楚，没有利益上的冲突。新的大学尽管起步艰难，但最后终于成为主流，成为俄国乃至世界科学文化明星的摇篮。

[2] 这是一份创立于1970年的，以数学和物理为主要专业的科普杂志，其对象是普通大众和学生。该杂志在俄国、欧美都有众多读者。

[3] 俄国的顶级数学大师也是世界的顶级数学大师。

[4] 这一圈子可以说对他们终身都有很大影响，尤其是在学术职业生涯上的互相帮助等方面。

[5] 他们的培养方式有些类似于我们五十年代从苏联学到的那一套比较正规的、严格的数学教育。如今这套教育在中国已经大大缩了水，原因是我们大学的数学系不断扩招，且九十年代以后又开始向美国学习其大众教育模式，所以目前我国高等学校的数学教育完全就不是为了打造精英而设置的。

[6] 苏俄的大学文凭（Diploma）相当于美国或中国的硕士，有普通文凭和红色文凭两种，极少数优秀学生能拿到红色文凭。

[7] 我们的学校应该学着尊重学生的选择，而不是强迫他们接受学校的安排。笔者在美国的Rutgers大学哲学系念书时，在数学系、语言学系、心理学系、计算机系乃至艺术史系都修习过研究生课程，从来没觉得Rutgers大学强迫我学过任何一门课程。我们国内的许多做法（如学校的课程安排、教学管理等等）是为了便于外行进行管理，而不是为了培养人才而设立的。

[8] 其实，许多欧美顶级大学都有类似的情况。例如笔者的博士导师Simon Thomas在伦敦大学博士毕业以后还没学过“泛函分析”课，那时他才23岁，已解决了简单群分类这一重要问题，并因此拿到了耶鲁大学的教职。

[9] 这里所说的精英学生在第二学年下半年用一学期左右完成第一篇学术论文，在完成论文的时间长短方面是有一定弹性的，有时为了彻底解决一个大问题，会拖上一两年的时间。这一时间尺度基本上由学生的导师和他（她）所在的研究室主任来把握，如果时间过长，导师与研究室主任将不得不承受巨大的压力。例如笔者曾经听到著名的逻辑学家Shanin（沙宁）讲起过Yuri Matiyasevich用了近两年的时间才解决了希尔伯特第10问题。在接近问题最终解决的关键时刻，大学乃至研究所里的行政人员开始不停地找Shanin谈话，希望Matiyasevich拿出“应有”的成果。对于Shanin来说，这种压力是巨大的，他不得不要求Matiyasevich找一些在解决希尔伯特第10问题之前所做的小结果以应付来自各方的压力。但同时，Shanin觉得Matiyasevich绝对有希望拿下希尔伯特第10问题，因此尽全力保护Matiyasevich，使他能够不受干扰并最终将问题解决掉。在精英教育中，对导师乃至导师的上级领导的素质都有着很高的要求，如何协调行政与科研教学的关系是我们的大学中亟待解决的问题，如果我们要发展精英教育，这一点则更为重要。

[10] 笔者这样写，也许多少有些唯心论的味道，但在数学界，许多大问题在解决之前的确是有先兆的，而这种先兆可以多少被圈内的大数学家（们）觉察到（只不过这些大数学家本人在该问题上已是“江郎才尽”，没有什么新主意、新思想去克服解决该问题所要面临的诸多困难）。

我们可以举几个现成的例子。美国数学家Martin Davis（马丁·戴维斯）在上世纪60年代末即感觉到希尔伯特第10问题应该快被解决了，他甚至有直觉这一问题可能会被一位极年轻的俄国数学家解决，他唯一没猜到的是Yuri Matiyasevich的名字。群论中的Burnside问题被俄国数学家Peter Novikov和他的学生Sergey Adian及英国数学家共同猜到，而最终由Peter Novikov和Sergey Adian联合解决的。在50年代初期，20世纪最伟大的逻辑学家K.Godel（哥德尔）就已模模糊糊地猜到了乔治·康托的连续统假设（即希尔伯特第1号问题）的独立性，并为此写了一篇结合数学和哲学的颇具科普色彩的文章来阐释他的观点。最后这一问题在20世纪50年代末60年代初由年轻的Paul Colien在发明了新的数学工具－－力迫法的基础上将其解决。在我国吵得沸沸扬扬的庞加莱猜想（Poincaré Conjecture），丘成桐、Hamiton（汉密尔顿）等人都猜到了它有可能将被解决掉，最后由俄罗斯圣彼得堡的G. Perelman（佩雷尔曼）将其成功解决。

[11] 其实，美国数学学会、伦敦数学学会联合起来，将俄国几乎所有的知名综合数学杂志以及众多的专业数学杂志一字不漏地全部翻译成英文，这本身就说明问题。同时，大量的俄国教科书被翻译成英文等多种文字在全世界发行并应用，也说明了人们对这一教育、科研体系的认可。

[12] 如何发展大学与科学院下属研究院所的功能，使之更有效地联合起来为培养中国高端人才作出实质贡献是我们今天所面临的一个严肃而且紧迫的课题。

[13] 笔者想指出，在过去的半个世纪中，俄国的顶尖大学（如莫斯科大学、圣彼得堡大学、新西伯利亚大学等）产生了全世界近25%的菲尔兹奖得主，每个大学都有多名诺贝尔奖得主（不包括文学奖、和平奖）。

[14] 当然，我们不得不看到，能够组织如此众多的讨论班需要学校本身拥有众多的人才，这些人才可以全身心地投入到他们的科研事业（外加部分组织工作）中。