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标题: [八卦怪谈] 一些对数学领域及数学研究的个人看法 [打印本页]
作者: 酒哥    时间: 2015-4-26 18:09
标题: [八卦怪谈] 一些对数学领域及数学研究的个人看法
本帖最后由 酒哥 于 2015-5-18 08:17 编辑

一家之见

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[八卦怪谈] 一些对数学领域及数学研究的个人看法

作者： wcboy   



怎样看待数学？不同的人看待数学的方式不同。如果想在数学上有所作为，必须理解数学的全局。但是数学内容如此众多，想全部细节都了解那是不可能的。目前数学深深地烙上格洛腾迪克印记，一个数学研究人员完全不了解现代代数几何内容是不可思议的。在数学观上，普通人，普通数学人，普通数学研究人，一般数学家，一流数学家，数学巨匠，他们的差别是巨大的。不同的数学观完全决定研究的起点和深度的巨大差异。

数学发展经历了古代初等数学、近代实用化数学，近现代公理化数学和目前的结构化数学。尽管数学风格的变迁，使看待数学的视野被极大拓宽和自由，但数学的基本本质仍是不变。数学的基本本质就是几何结构和代数结构的延续和互相渗透。

为什么一个有理想的数学研究者必须尽可能地了解数学的最新进展（懂英语的重要性，看英语原著比中译本更易懂）,那是因为唯有如此,你才能了解目前数学有哪些新的几何结构和代数结构出现，重要性如何。如果你没有跟踪最新进展，要么你在重复别人的研究，要么你根本没有数学研究能力并且根本不理解数学在玩民科。追踪数学进展，并非要完全理解它的所有细节，其目的在于得到一个数学全局概观和下一步研究及学习路线。

就算你学完了某些（或即使所有（这没人可以做到））数学分支课本，那也只是变成一个普通的数学人，还没有进行研究的真正实力。只有当课本的内容转化为自己的知识时，你才能理解数学家的研究，进而获得一些基本研究能力，但要到一般数学家研究能力，你必须具有一定的数学全局观，理解一流数学家和数学巨匠的重要方法，并老老实实在他们限定的框架内解决一些必须克服的难题。而一流的数学家则必须完全理解数学巨匠的方法的优点和局限性，并提出自己的不同方法而克服或缩小数学巨匠的方法的局限性，并引领时代潮流，驾驭数学朝数学巨匠指点的高端行进。

数学巨匠，完全不同于一流数学大师，他们不是引领数学主流而是反潮流的，一旦成功，则改变数学研究的风向，影响巨大而深远，为历史的里程碑。

一个人的数学天赋结构（天赋的高低、品种和快慢）决定了他的研究能力、方向和风格，比如一个人解题速度很慢，不意味天赋低，只是以放松的风格来思考问题。尽管很多数学家说他们靠勤奋而成功，事实上他们的勤奋是建立在天赋之上才获得成功的。如果抽取天赋，即使再努力也不会成功。有的数学家代数或数字天赋强大，如伽罗华，阿贝尔，拉马努扬，高斯，托伦斯陶，有的几何洞察力深远，如黎曼、高斯、庞加莱和瑟斯顿。没有数学天赋的人，最好不要搞数学研究，否则成民科。天赋低的人数学竞争力弱，数学前途渺茫。为什么天赋重要，因为一个人不可能在懂所有数学专题细节后才开始进行研究，在绝大部分情况下，是边研究边学习，这需要天赋自动引导研究路线和判断研究对象和方法的价值。进入一个全新的内容完全取决天赋。大多数数学系的人的天赋都达不到研究级别。

一个人不懂stack、topos、etal cohomology、Godel不完全双 定理不要紧，带着自己的天赋和天赋积累的例子去看，天赋的高低决定懂的程度。最怕的是不知道这些概念和构造的存在，因为在研究的阶段，你很可能会用上，至少可以让你学会以较高的数学观点看自己的课题。

非常同意Alain Connes的话：在我看来，关于数学首先要知道，我们无法通过学习变为数学家，而是通过做数学才能称为数学家（我加一句，必须有天赋和基本基础的人）。

看万卷书破万个题的学习方式不是普适的，并且我认为是多为迂腐人所为，数学研究的起始只需要你的知识足够对付你所选课题的首期即可，后期必须在天赋的引导下进行研究式学习来补充不足，天赋的最主要作用在于最后产生新想法、技巧或构造去攻克课题。

搞研究的人必须要先选合适自己天赋的课题，不能等到大部分基础打好后才选。有课题在手，使你容易选方向深入，在辨别中深入理解所需数学内容，普通学习达不到这种效果，因为在思考课题时，有些内容可能比课本更深入了，变成自己的东西，课本学习就变得容易。选课题也是有天赋的。

数学研究的目的是什么？是解题。为什么不是乐趣和学习？一般的乐趣和学习是低层次行为，不属于研究目的。解题的关键是什么？是做出一个数学构造。这个构造可以是一个例子的构造（构造一个例子去完成一个否定或辅助支持论断，比如构造一个具体的同调群结构（解决一个拓扑分类问题）或一个特殊n体系统（解决天体力学中n体问题）），也可以是一般构造（比如椭圆函数和模形式的对应构造、亏格），还可以是基本构造（比如黎曼面、庞加莱的拓扑同调及同伦技术、汉密尔顿四元数构造）去开始一门学科分支。解题的乐趣是研究数学最大的享受。

非常同意Weil的话：要想掌握高深的知识，唯一的途径是阅读大师本人的著作。Abel也如此认为。
只有读大师的书，他们才告诉你数学的真相和他们方法的原始构思和起源。大师的数学思想的价值是非大师不能比的，而且从大师的论文中，你还可能读懂别人没读懂的隐藏思想。很明显，大师论文会明显或隐晦地回避他的方法的某些缺陷，这不是每个人都能读准的，有的被后人发现，有的没有，有的还被误读。比如在看代数几何以前，先读一下Dieudonne关于代数几何的发展史及关于数学结构分类的文章和书是非常有益的，这有助于消除对高度抽象的恐惧感和直接进入高度抽象后的抽象迷失症（不知道抽象的目的后的盲目抽象）。

尽管数学越来越抽象而高深，但是一个正常的数学研究者必须明白一个真相，数学的基本结构才是数学的核心，基本结构才是数学结构抽象赖以生存的基础。基本结构分几何和代数两部分。

现有的代数基本计算构造包括实数、复数、矩阵、汉密尔顿四元数、凯利八元数、格拉斯曼代数、模代数（mod(n)），包含所有基本运算及置换运算。几何基本结构包括解析几何结构和拓扑结构。所有数或函数域扩张是基本结构或混合结构的子部分或模拟。复数与实数结构有一个很大差别，数分解的唯一性和非唯一性，这直接通向环的理想结构，方程解的性质分析直接导致用矩阵结构处理不同群的计算，模代数导致循环群和环的概念扩张（周期封闭运算）。矩阵、汉密尔顿四元数、凯利八元数、格拉斯曼代数中非交换或非结合的主导地位。无穷结构（康托尔连续统）对代数结构的限制，导致连续计算结构和离散计算结构的差异。

任何代数结构都必须用来处理几何结构，否则没有意义。代数是工具，几何是灵魂。正是复数、矩阵、汉密尔顿四元数、凯利八元数、格拉斯曼代数在出现时没有对应的几何应用才导致争议或被忽视。几何结构用代数构造来处理才能到达深刻。

所有方程都是函数，函数基本可以和方程等价看待，如果在不违反康托尔连续统结构条件下。数论方程是离散几何形，分析方程是连续几何形。

基本计算构造中的一些基本计算形式必须被了解，比如分析中的泰勒形式，傅立叶级数，外微分形式，柯西复公式，调和级数。复数中的欧拉公式，复函数的自然级数ｅ表示公式。

一些基本的思想，比如函数点化的函数（参数化）向量空间（甚至更抽象的等价类的moduli空间（概型））思想（一个高维图形或等价类可以看成抽象空间的一个点），比如函数的（系数或系数加部分变量）形成坐标（环域）和变量形成的向量基，基本的如整多项式和劳伦斯多项式，系数和变量可以不是实或复域，可以是矩阵或其他计算结构或混合结构。

格洛腾迪克的结构数学和希尔伯特的公理化数学看似相同，实则不同。公理化重在处理逻辑，而结构化重在处理构造。所以结构数学的计算技术得到强化。在数学中，个人以为构造比逻辑重要和有效得多。

抽象代数最有价值部分是群的计算，尤其有限单群，其次环域分解，即什么样扩张域能使某个特定环的分解变成唯一的。代数几何的最好部分就是上同调群的构造和计算。个人认为格氏代数几何虽然应用于拓扑和数论，但还是其数论的效用显著，几乎是为现代数论定身制作的。尽管同调群计算可以应用于拓扑，但对拓扑的深层次问题的解决帮助不大，主要是庞加莱的同调和同伦技术不能处理这些深层问题，对此庞加莱本人十分清楚。

当对比前辈时，当代数学家的影响和地位一般都会被当代数学人拔高。历史长河将会自动降低大多数人的影响力。所以你必须对数学家的成就给予较合理的评价，这样才能合理地理解数学思想和构造。一个盲从的人，其研究能力将被降低。就个人观点而言，能在庞加莱和希尔伯特后称为数学巨匠而无争议的人只有格洛腾迪克。格洛腾迪克第一次真正地总结了所有现存的代数与几何结构，实现了纵横联合。但不应过分拔高其影响。个人认为他还是不具备黎曼、庞加莱、伽罗华、高斯、阿贝尔、希尔伯特的影响，因为他们交给我们一些基本计算构造，而格洛腾迪克只是综合别人的构造。

几何的洞察力比代数天赋更宝贵，格洛腾迪克的几何洞察力比较弱，其代数几何更像是为从事数论的人打造的，适合算术几何化分析。这点可以从他的拓扑比较弱，抽象代数比较强可以看出，尽管他最初从研究拓扑起家。他的代数几何继承了经典抽象代数构造和拓扑技术构造，尤其同调技术（庞加莱的拓扑同调看来比希尔伯特的多项式同调更加深刻）。拓扑结构，格洛腾迪克的东西是罩不住的。康托尔连续统结构，格洛腾迪克的东西是罩不住的，但格洛腾迪克试图用（拓扑斯和范畴）罩住它，这很不现实。

康托尔连续统是整个无穷构造绝对核心。康托尔连续统的构造并非完美，哥德尔只是从逻辑层面而不是从计算构造层面解决康托尔无穷结构。任何对康托尔连续统结构的调整必将引起数学面貌的重大变化。如果从代数方面简单地处理康托尔连续统，就算以后被证明是对的，目前也是很难被认同的，就如格拉斯曼、汉密尔顿的境遇，康托尔本人当时境遇很惨。约翰康威在康托尔连续统上做了一些探索，但那只是游戏而已，非标准分析就只是一个拙劣的模仿产物。代数基本计算结构的新出现（发明），必须反应在几何结构重大自然发现中。格拉斯曼代数在多变量微积分张量结构中，汉密尔顿代数在麦克斯韦方程中的应用，才使这些构造有意义。本人认为康托尔连续统构造不是令人满意的。

当前格洛腾迪克的东西被人过分拔高了。它的局限性是很明显的，它更像一个数学的抽象合纵，不能用作提供解决一些关键数学结构的代数构造武器，尽管以后新构造会符合抽象代数的某些要求。现代几何尤其拓扑仍然笼罩在黎曼和庞加莱的影响下。

当代最有几何洞察力的人是瑟斯顿，但他那一套解决拓扑结构的方案不能令人满意。拓扑结构目前是最有研究价值的数学方向，但拓扑的研究现状令人失望，完全没有突破黎曼和庞加莱的阴影。庞加莱本人完全清楚他主要拓扑构造技术的局限性。一般（点集）拓扑学纯粹是从概念上附和康托尔连续统结构而创制的，没有多大意思。微分拓扑与点集拓扑和微分几何联系太紧，体现不出拓扑的基本思想，只有代数拓扑是希望所在，但现状（基于同调和同伦计算技术）完全令人失望。拓扑结构和康托尔连续统间关联有很多不清楚的地方。

想要进入高端数学研究，必须学会鉴赏主要数学家方案的优劣（就如每个建筑师做自己的方案一样，会有不同效果），而不是全盘学习并完全陷入他们的方案，而是要随时设想自己的方案与其比较。因为数学文献是海量的，即使高斯、庞加莱再世，他们也无法看完。这时研究者只能凭其天赋直觉来挑选。如果一个方案没用或用处不大，马上抛弃，不要浪费时间去学习。现在没用或意义不大的数学内容太多。即使是数学大师，他们的一些东西也是用处不大的。

有两种途径进入高端研究领域，在一个自己能深刻理解的数学基本构造基础上，寻找合适的现存顶级难题；其二是自己在思考数学基本构造的基础上，发现并合理提出新的顶级问题独自为自己拥有（在未决前不公布），正如庞加莱在为解决天体力学的n体问题时所为，庞加莱的拓扑遗产比黎曼要深刻多了，构造idea和技巧也多。

不是每个世界难题都有基础数学意义。费马大定理就是一个好题目，它见证并参与现代抽象代数结构（尤其环理想）和椭圆曲线模结构的全过程。而哥德巴赫猜想就不是一个令人满意的难题，四色问题也是如此。庞加莱球面猜想的重要性被高估，尽管有瑞奇流技术，但没有直接产生有效代数拓扑构造。一个难题的好坏在于研究它的过程中产生较大普适范围的基本构造。

拓扑不变量的观念太深地根植在数学中，已经成为一种负担。目前的拓扑不变量太粗糙，附加条件太多，稍精细的技术太难计算或实际不能计算。使用不同不变量，使同一个拓扑形与其他不同拓扑形的形成不同拓扑等价类，即两个拓扑形是否等价，取决于不变量技术的选取。

事实上，拓扑形之间有些等价性是相对的，条件变了，等价性也变，有些则很隐晦的。同时，与康托尔结构发生关系，显然造成拓扑结构的复杂性。维数有关键性作用，高维拓扑不能由低维拓扑直接而简单地推广，高维比低维深刻很多。

阿蒂亚和邱说数学家看见了这些几何形或拓扑形，但就是没有办法。几何洞察力，首先就是看见形的静态或动态特征，尤其对复杂图形和高维图形的想象力（不要老想着几个简单图形，它们体现不出很多拓扑深入后的细节）,提取几何分解概念和结构，然后利用它们重新代数地构造所有拓扑形。

我并不认为当代这些名家真正看清了这些高维拓扑结构，如果看清了，必然在处理方式上有所反映。显然有一些重要概念没有得到完全理解。一些有效的拓扑分解概念和要素，被深深隐藏，需要强大的几何洞察力和数学全局观。需要突破的关卡和迷雾众多，而且像一个复杂的关系套，需要连续理解和挑战。同调和同伦技术不够深刻，不能全面反映所有拓扑形细节，它们不是一个理想的拓扑代数工具。拓扑基本计算构造应该不在目前所有代数基本构造范围内，需要新的代数计算工具。

数学的直觉往往是以具体而恰当的例子来转换的，恰当例子越多，通过直觉得到的构造被“证明”越“正确”。具体的例子比抽象的定理叙述更有说服力，更容易理解新构造。当你学习格洛腾迪克那样抽象的数学结构时，手头必须备有很多实例去对照。恰当地掌握了这些例子，也就恰当地掌握了数学。格洛腾迪克的抽象并非肤浅的抽象比如像非标准分析那种，而是基本结构为实例的深刻抽象。

中国人长于代数计算尤其数论，而短于几何分析，这是从古代流传下的传统，现在这种影响还是十分强大。陈邱二人在华人传统上进行了很大冲击，后来一些在国外的华人师从他们的道路。

看不惯国人对陈邱二人数学学术影响力和地位的过分拔高。他们二人对数学整体的理解，个人不完全赞同。尤其不喜欢邱（和威腾）对数学和物理关系的看法。牛顿把自己的名著定为力学的数学原理而不是数学的物理原理是有绝对感觉的。对物理和数学关系的看法，牛顿、庞加莱这些人才会有深刻体会。目前数学和物理关系正反映了现代数学缺陷，特别量子领域与康托尔连续统和拓扑结构有密切关系。现代理论物理已经沦为数学游戏（一个真正的物理家应该理论和实验通吃），而邱的数学寄希望通过理论物理来解决，非常不好。物理只提供实例，数学的基本构造必须源于自身。









作者: 酒哥    时间: 2015-5-2 23:15
[八卦怪谈] 一些对数学领域及数学研究的个人看法（二）
作者： wcboy

谈一下对课题选择的看法。

选择课题方式是很随意的。比如有的人一上来就选著名开放难题，有的是通过与合作伙伴（比如师生、同学或相头的人）交换看法后选题，有的按所学专题选题，有的早早选题，有的会在研究生阶段被动选题。有的是人找题，有的是题找人。有的是选别人的题，有的自己造题。
个人对选题的看法是，选题一定要符合自己的天赋类型，一定要是自己感兴趣的或者入题后感兴趣的，选题越早越好，最好是题找人。题找人是最自然的，往往说明这个课题非常适合自己的天赋和趣向。但是题找人是有一个过程的，不同人的时间不同，幸运的人很可能一下子在20岁以前才发现，晚的可能要在30岁以后。自己造题比别人出题意味着数学的独立性很高。

中学时认为代数或数论适合自己，是微积分学习改变了轨迹，花一年多时间看微积分，书看完，完全不明白它的核心结构的含义，只记得级数很有意思。顺着看实分析、泛函，越看越蒙，直到看到康托尔连续统、勒贝格测度和哥德尔不完全定理时，就完全明白了分析实质，同时对数学和学习有了自己的看法。数学体系不是完美的，严密度是有界限的，每个数学家都有自己的看法，我应该也有自己的看法，我应该了解主要数学家的看法而不仅仅课本的一家之言。了解大师的看法就是直接读他们的论文，看不懂，没关系，去翻书在回过来看。在这个过程中，发现大师的看法、层次、类型、视野和难度差异很大，有的喜欢有的不是自己一路的，觉得数学分支的划分是人为的，数学的进步是围绕问题解决的，对数学家及其方案要有自己的评价。任何数学抽象必须基于底层最基本的东西。

其实微积分最实用的核心就是无穷级数的计算，数学分析的基底就是康托尔连续统，只有计算级数收敛或发散速度时，只有看到康托尔集和门格海绵、希尔伯特空间这些构造时，才真的感受到连续统的存在和优美，但哥德尔让人看到它的缺陷，也让我感到不安。所以连续统构造一直在心中占据。这也让我对抽象数学有所反感，我花大量时间去看数理逻辑和晦涩非标准分析，了解希尔伯特的公理化，结果令人失望，没有任何实际意义的数学结果，是一些花架子，得出自己一条很深的教训，千万不要让哲学分析进入数学（很多民科（甚至某些数学研究者）以哲学和幼稚的方式解连续统问题和讨论选择公理（业余数学研究者和民科是有区别的，很多业余和本科非数学系的转行成为大师的不少），哲学经常通过逻辑夹带进入），逻辑虽重要，但数学的构造才是最基本的。用有意义的构造方式处理连续统才是正道。用实例处理抽象，以几何制约代数，显然我喜欢庞加莱而不是希尔伯特（希尔伯特空间除外）和格洛腾迪克。并非认为抽象不重要，问题是什么样的抽象才是重要的，表示理论才让群深刻，不同维数空间中的正多面形（或胞腔形）自变换、循环群置换才是关键，矩阵是最复杂和深刻的计算构造（比如阵内的某些块对易很有意思，体现了局部交换性（比如阿蒂亚的k-理论）），很合适用来构造和计算等价类，可以自由操控方程。数论中的椭圆函数与模形式比较有实战意义。

分析与几何是天然浑成的，微分方程和微分几何的划分只是不同角度看问题，实际是一个东西。微分几何强调度量结构而微分方程强调参数与坐标。泛函最好的东西是希尔伯特和冯诺依曼的东西。至此深以为几何比代数更有意思，图形比数字有意思，尤其自由图形比规则图形更有意思。所以深深喜欢黎曼与庞加莱，尤其是庞加莱研究天体问题决心放弃经典几何方程进入代数拓扑领域时感到的开阔自由，因此去看拓扑的东西，越看越带劲。尽管或多或少地看了不少人的东西，诸如瑟斯顿、琼斯、米尔诺、莫尔斯、唐纳逊和其他人的一些东西，感觉还是要从庞加莱的角度重新开始，其他人的视野不如庞加莱，可以感到庞加莱对自己的工具不如其他人那么乐观。而且别人对他的几个工具重视不一，比如他的同宿栅栏（或轨道）工具还未发酵太深(由它变出KAM)。拓扑的定性分析应该只是他的无奈之举，其意还是要找到一个更好的计算工具，但是他不能，他的本意应该是要彻底排除以微分方程研究拓扑（实际他已经做得很不错了）。拓扑学的现状是以庞加莱方法为源的诸侯割据。当然也有庞加莱之外的，但不深刻。个人以为这些混乱正是拓扑学不成熟的标志。

作者: 酒哥    时间: 2015-5-6 18:31
本帖最后由 酒哥 于 2015-5-6 18:57 编辑

[八卦怪谈] 一些对数学领域及数学研究的个人看法（三） 深刻而影响深远的数学家

作者： wcboy

对于一般人，了解简单数学就够了，过深的数学对他们是有害的。对于一般数学应用者，过深的数学研究也是有害的，理解能用上派场的内容就够了，不要什么都追根究底，除非你的课题深度真的需要。只有真正有能力和天赋的研究者才合适滑入数学深渊。不是所有的数学内容适合科普和放在较低层次去讨论，比如Hodge structure、Mirror symmetry、Gromov–Witten invariant和Index theory，你要读懂，必须有很深很全面的数学背景。只有达到一定的背景，讨论才可相互理解。

数学的发展意味着留下的数学问题的解决难度越来越大，数学的研究越来越精英化而不适合常人。数学的发展是少数精英推动的，这比任何其他行业更加明显。数学巨匠和少数一流大师占据绝大部分数学贡献。

随着数学积累和研究深入，你对数学家的评价会随时间变化，让你真正认识一些深刻而影响深远的数学家。当然专门的偏好会让你产生一些个人偏见，要真正有效评论一个数学家必须结合对数学分支的恰当看法。

如果使用不同标准，那么评价是不一样的。如果你使用最牛的数学家标准，那么在一般情况下，大多数肯定是现在活着的数学家而不是远古数学家，因为即使现在一个数学研究生的水平都随便超过牛顿和阿基米德。如果采用历史贡献的标准，和稍将眼光在历史长河中延长到未来一个世纪以后，那么当代这些牛人没几个能上榜。如果一个数学研究者不熟悉诸如Grothendieck，Witten，Atiyah，Thurston，Quillen、Milnor，Kontsevich, Jones,Cones，Voevodsky等这些当代数学家名字，很怀疑他是不是一个合格的研究者。绝大多数数学研究者都会在自己心里对重要数学家的成就有自己的看法，即使他不说出来。

一般人中有影响的数学家和数学研究者中的有影响的数学家是不一样的。一般人很难评判众多数学家的成就，即使对很多数学研究者也很难，除非你的数学根基比较全面和有一定深度。

下面就说说个人对一些数学家的看法，从历史角度入手而不是从现在谁牛评判。

牛顿以前的数学家，比较欣赏的是Archimedes和Apollonius（圆锥曲线的分类，这种分类的思想研究是现代数学研究的第一推动力了）。
1900年以前或左右数学家，Riemann，Poincare，Gauss，Galois，Abel，Newton，Euler，Lagrange，Hilbert，Ramanujan。
1900年以后的，Grothendieck，Noether，Weil，Serre，Witten。
在个人观点，top one of all time，无法从Riemann，Poincare，Gauss三人中选出，如果从纯数学文章深度看，选Riemann，如果从数学难度选，挑Poincare（因为拓扑结构太难了），如果从数学广博挑，认Gauss（实际上Gauss太保守，很多好东西因为不完善不愿写出来）。个人偏好，Poincare更靠近自己。

如果要挑最天才的本能数学家，非Ramanujan，如果他命长点会generalization和make conclusion的话，那么最高丰碑数论家是他而不是Gauss了。一个能直接看到结论的天才难道不比只会推理解决别人问题的数学家更难能可贵吗？他是神赐数学家。如果一开始他就受到正规教育毒害太深的话，他的天赋会丢掉吗？是一个谜。

微积分不能全算到newton头上，但个人认为他比Leibniz强，一是它将充分物理纳入数学而发挥数学的威力，二是他继续推动Apollonius的分类工作。
Galois的群和Abel的函数已经成为数学中最难而深远的代数结构。

Grothendieck贡献了最棒的数学抽象思想和构造，Witten的出现可以看作一种趋势的加强，物理的基础结构将完全置于数学上，实验只提供系数（如普适常数，相对常数），即物理idea，基础及构造的解释完全数学化。他们的贡献还在于对常人设置了一个高门槛，让民科们望洋兴叹。当然我并非说Witten的SuperString theory是合理的，但认为他是一个有远见的一流数学大师（还不能到巨匠级别，除非SuperString theory真正占住脚）。
有些人虽然作出了重大贡献，但不能算数学巨匠或准巨匠，因为在发现或发明后没有深刻地刻画数学基本内容或非常不完善，或没达到大家的期望值，比如Descartes的坐标系，Godel的不完全定理和Cantor的连续统工作，都不到位或到达一个深度。

作者: 酒哥    时间: 2015-5-6 19:00
本帖最后由 酒哥 于 2015-5-18 08:19 编辑

[八卦怪谈] 一些对数学领域及数学研究的个人看法（四）对于数学分支的个人看法


作者：wcboy

对于一个比较全面的有发散思维的天赋强大的数学研究者，完全没有必要去理会数学分支这种无聊划分。但是对喜欢专门化的研究者，数学分支确实让他专注某个方面。对于后人的教育，数学分支的划分有利于培养机械化式的数学专才。每个数学分支的出现取决于形成分支的数学内容是否足够和结构是否稳定而成型。

无论如何，是数学问题而不是数学分支决定研究者需要的知识和学习路线。一般设置的课程都是基本稳定下来后的数学结构常识，一般知识也比较旧，离最前沿的内容具有很大距离。在一般情形下，这些稳定的知识只能解决一般问题或体制内问题，对重大难题或新发现，只提供基本支持，不提供解决方案。因此一般人学了也无法用于解决重大问题或发现重大结构。非平凡的问题绝大多数是需要大的或小的新工具去解决的。所以幻想通过题海战术学习基础知识能解决大问题是不现实，因为在最前沿工作的数学家在基础知识上不比你差，为什么他们没法去解决大问题，那就是因为大问题需要新工具或修改调整旧工具，没有天赋你怎么做呢。所以那些不强调天赋而向外人推销数学研究的做法是非常害人的，严重时可以一辈子将一个人给毁了，本来可以在其他方面有出息，本来可以过正常生活的（我想除了数学，这世上还有其他美好的东西在等待你，比如家庭小孩的天伦之乐，为何一定要当民科呢）。如果你有职业搞一点小兴趣，应该问题不大，只有到你确定自己真有天赋或能力时并且基础足够时，才能正式迈入数学研究这个深渊。同时要知道，不是所有有天赋的研究者都能步入成功的前台，绝大部分人都牺牲在路上当炮灰了。

一个成功的数学家，他的常识数学不一定就比那些不成功的人强。数学常规基本功强与数学成就不存在必然联系。

一旦提取特别分支，那么就必然涉及分支在整个数学的重要性问题，显然不是所有分支都一样重要。有些分支即使停下来了，但依然重要，有些最新的不一定重要。甚至有些分支虽然逻辑正确，但过于平凡而意义不大。比如微积分技术就是最重要的实用分支，矩阵及群计算是第二，数论在实用性上就差很多。有人认为数学不需要将实用，个人不同意这个观点。个人认为实用是数学的生命活力，所有看似纯粹的且高度抽象的数学部分是作为数学这个整体的一分子为认识物理世界服务的，虽然不直接出力。

对大数学家而已，分支不是大问题。真正的差异是他们感兴趣的课题和想问题的风格。你是代数式思考方式还是几何式思考方式，当然少数数学家两个方面都强，比如高斯，但是总有一个为主的，高斯喜爱代数超过几何。黎曼和庞加莱是典型的几何思维，比如黎曼猜想就反映了他的几何直觉，庞加莱就更不用说了。伽罗华，阿贝尔和格洛腾迪克是典型的代数思维。

判断一个数学家的思维方式，看他喜不喜欢在他论述中画图或叙述一个具体图形就可以判定了。




作者: 酒哥    时间: 2015-5-9 07:43
本帖最后由 酒哥 于 2015-5-10 17:19 编辑

[八卦怪谈] 一些对数学领域及数学研究的个人看法（五） 物理，几何和代数


作者：wcboy


搞数论的研究者是数学中的另类，他们中太多以数学至纯而倨傲（或孤芳自赏），很看不起源于应用的数学，认为自己的数学内容是最深刻、最难和最神圣的数学，同时数论或代数中大人物远多于几何，并且神童总与数挂上钩，中文中的数学可看作数之学，在中国数论的势力最强大。Gauss、Euler、Ramanujan等很多神童都是从数论开始的，他们使数感成为神话传说。

实际上数与形是同时出现的。为什么会知道自然数？因为要为具体的物体（离散几何形）计数而已，负数不过方向相反（也是几何形的要素），其他数的都是运算封闭的要求，它们都有几何意义，尤其实数与线的对应。向量数组不过是高维几何空间的对应。因此，数或扩张数不比图形处于更优越地位，事实上它们的出现都不过是人们处理图形和空间对需要。

所有运算都是方程，由于简单的运算大多数人一眼就看出了，就不认为它们是方程了，在人们眼里只有处理不能直接看出来的一大堆数或数组的集合才是明显的方程。本质上，数的分解都是（不定的或定的）方程。是方程就有几何出现，只是这些几何太平凡了，数论研究者不考虑罢了。随着后来难度的增大，数论一方面关注整体性质而上升到抽象代数，另一方面向微积分技术求救，微积分本质上就是几何，现在更甚，向拓扑深入。现在最深的椭圆曲线与模形式、高维Shimura variety都有强烈的几何拓扑内容，算术几何并非新东西，只不过之前没多少人乐意去正式提出。抽象代数更是与几何联系紧密，其核心群就是几何变换而已。

任何代数内容都有相应的几何解释，如果一个代数结构找不到有非平凡意义的几何解释和应用，那么它们就会被非议而不会被承认，所以没有几何考虑，就不能随意制造代数结构。代数只是处理几何的工具。

几何充满宇宙和物体变化，它与物理紧密相连，不可分离。有很多人认为物理是应用科学或几何应用典范。物理的理论不能简单归于应用，随着物理发展，物理逐渐几何化，几何开始能解释它对基本概念、idea和构造，相对论中黎曼几何和量子力学中的希尔伯特空间和群和拓扑，现在超弦更是几何主导。实在觉得物理与几何不是应用关系那么简单，只是现在的几何内容还不能将所有物理概念纳入自己的解释，否则几何完全从脚到头完全主宰物理。
在物理，几何，代数的关系中，几何处于中心，代数是几何需要的工具，而物理的工具是几何。牛顿、拉格朗日、庞加莱和威腾用双重大师身份一直在强化这条线。



作者: 酒哥    时间: 2015-5-10 09:49
[八卦怪谈] 一些对数学领域及数学研究的个人看法（六）计算机与数学


作者：wcboy  


一些著名数学家对计算机的数学证明或计算持非常忧虑的态度，比如Atiyah。

四色问题、球装问题（sphere packing or Kepler conjecture）、有限单群计算、大素数的寻找和分形几何都是数学利用计算机的典型代表，它们全部或部分使用计算机完成证明或计算或画图。如果不用计算机，分形几何是不能被发现的。

实际上，当涉及大量数据和大数计算时，不使用计算机是不可能的，人无法在有限生命中完成这些计算和重复检验。这就涉及一个人对计算机计算可靠性信任问题。在工程计算中，工程师们绝对信任计算机就像信任自己一样，没有心理障碍。但数学家不一样，很多持怀疑态度。这是有理由的，比如Hales的sphere packing论文发表后，发现不少失误而后修改补充。

就个人观点而言，接受计算机不不接受要好。大量工程实践表明计算机计算是值得信任的。就算一种计算机环境（硬件和软件）不行，还可以通过其他计算机环境进行重新计算，如果多种环境全部一致，那么计算结果就应该被信任。实际上让人担心的是数学家的数学本身的计算构造模型和为之设计的计算机程序模型两者是否同时逻辑无误。如果是，证明和计算结果就应该被信任。如果真的日后通过其他计算机或非计算机途径发现错误（尽管几率极低），那也没关系，让人意识到计算机环境的缺陷而改它，更利于后来者。

多变量高维数复杂图形的数学结构的大数据计算和画图必须使用计算机辅助完成，这是日后数学趋势，很多极难得硬计算的数学证明脱离不了机算。
计算机已经为数学家揭开了很多数学家看不到的东西，我们必须要为计算机证明和计算保留位置。

作者: 酒哥    时间: 2015-5-10 11:24
[八卦怪谈] 一些对数学领域及数学研究的个人看法（七）抽象与具体 格洛腾迪克和庞加莱


作者：wcboy


后人看前人，都觉得前人的东西容易，我们的后人也会这样看我们，确实后人在大多数情况下是这样的，基于知识的积累，后人一般比前人牛，这道理谁都懂。但牛不等于这些牛人的功绩彪炳历史，在历史上比前人有更高的地位，难道你能说庞加莱、黎曼、高斯等很多历史成就就比现在的大多数牛人差吗？就个人观点而言，现在没有一个人能在历史成就上比得上这三人，格洛腾迪克也不能。

评价历史我们后人更容易客观看待我们和前人的功绩的历史价值，其结果是后人一定会把我们对当代人的自吹自擂的吹水成分大大压缩，其结果是现在没几牛人能上历史排行榜。所以最牛的人不等于历史排行榜。以历史的眼光看人和成就更客观，但是当代人根本很难客观，都想把自己吹上历史的排行榜，以让后人记住自己，但是后人不是傻子，后人有自己的判断标准，当代人不可能替后人定标准。

代数几何萌芽从意大利学派算起比较合适，法国Bourbaki学派是它辉煌的开始，格洛腾迪克使它达到目前的顶峰。

代数几何不能说不抽象到目前的极端，数学人也因此把它抬高到极端。algebraic varieties，sheafs，schemes，algebraic spaces, algebraic stacks，topos，sites，motif （or motives），higher category，higher K-theory， Grothendieck–Riemann–Roch theorem，intersection theory以及涉及Weil conjectures，Hodge conjecture和 motives到Galois theory的长征。这些东西实在抽象炫目得很。


抽象与具体

一般人都认为抽象比具体有价值得多，所以不断忙于抽象再抽象，把别人的东西抽象推广到自己的特例，自己就比别人贡献更大。这是很好笑的。不少抽象显得非常稀疏化和平凡化。
什么是表示理论？如果只是一些假大空的抽象，这些抽象的东西只能用来说话，没有计算技术来表达，就没有太多的深刻技术含量，只有能用有效计算技术来定义或分类或区别一个或一堆数学对象从其他不同的想要区分的数学对象时，这种抽象才深刻，所以表示理论是抽象数学要达到的目标，现在无论代数几何和抽象拓扑都差得远。表示理论是很难的，一般抽象至多是框架，框架易搭建，但建筑施工困难。所以俄罗斯学派的表示理论观点是非常重要的，是务实不务虚的。
表示论就是从抽象再到具体的过程，用具体的计算工具去处理抽象。
一般的具体就比抽象不值钱吗？实际上，抽象时也排除了很多具体对象，让它们处于例外情形。某些情形下，我们处理一个具体对象，最后会得到一个更大的数学内容和抽象（比如费马最后定理导致一连串的抽象进展），按这些抽象家的说法，把他们给抽象进去了，他们的抽象理论成了special case。所以不要看不起具体数学。


格洛腾迪克和庞加莱

格洛腾迪克的存在，使得20世纪的数学中代数或抽象代数对几何或拓扑处于绝对优势地位，格氏本人也成了数学史最顶级的抽象巨匠。正如牛顿至庞加莱时期，几何处于中心地位一样。

难道庞加莱的抽象能力比格洛腾迪克差很远？也许应该这样问比较公平，庞加莱是否喜欢抽象方式？
显然，庞加莱的抽象能力并不差，否则他能搞出那么多深刻的拓扑技术和微分方程技术，而且他也早早意识到了高维几何问题，否则他怎么去搞n体问题的微分方程和提出那个有名猜想，他也大量使用群。但是他显然更关注几何的硬的可计算技术和应用，不喜欢假大空，他有很强的计算能力和计算构造能力（格洛腾迪克这方面就不如他），不太喜欢很死板的规范证明，好像对数论也不关心，且极度关心物理，其理论物理及计算物理能力之强就算很多纯物理大师都不如他。

几何想象力和物理应用，格洛腾迪克在庞加莱面前就显得很弱了。代数几何的主心骨上同调技术还主要源于庞加莱（庞加莱同调对偶）。
格洛腾迪克的拓扑太弱了，在这点上威腾比他强很多，威腾的视野很深邃，个人认为虽然图形想象力比瑟斯顿差，但拓扑构造洞察力是目前自庞加莱后最好的，虽然达不到庞加莱的高度。威腾的洞察力主要来自他对物理的强悍理解（目前最好的弦论家）。可惜威腾已经过了他的黄金时期，不会有太大的东西出来了。

代数几何还不能还盖全部数学内容，其中几何拓扑部分差很远，在庞加莱眼里，homotopy是比homology更有效和更难的计算工具。现在higher-K homotopy还是不行的，庞加莱也知道homotopy也不是拓扑终极fine工具。
格洛腾迪克的全面性和深刻性不能与庞加莱比。

一个强的研究者，应该可以从简单中看到复杂，从复杂中看到简单，从具体走向抽象，从抽象在回到具体。如果一个数学研究者没有较强的计算能力，一般来讲，是不完美的。如果一个数学研究者只会傻算而不懂数学构造优先，那不会有大出息。如果一个构造不合理，算出来了也达不到要求。要算，但要先搞清楚为什么要算。

作者: 酒哥    时间: 2015-5-16 21:22
[八卦怪谈] 一些对数学领域及数学研究的个人看法（八）数学，艺术


作者：wcboy


数学研究当然是一门艺术，艺术这个概念具有对任何事物的探究的普适性，数学也不例外。很多数学家喜欢将数学与绘画、音乐、建筑和文学放在一起讨论。所有艺术的风格可以放在一起类比。很欣赏数学画家Maurits Cotnelis Escher。分形图形、Hopf fibration，tiling就是完美的绘画，几何就是绘画。
下面是某些个人的类比（本人不喜好文学，文学就免了）。

Newton：da Vinci(oil painting)Beethoven(classical music)Gropius(modern architecture,现代建筑之父)

Gauss：Raphael(oil painting，architect,最喜欢的painter，最完美的写实派，最woman的艺术家)Bach(classical music,最完美的音乐)

Euler：Velasquez(oil painting)Mendelssohn(classical music)

Riemann：Rembrandt(oil painting)Chopin(classical music)Le Corbusier(modern architecture,最喜欢的建筑师，最完美的建筑：朗香教堂)

Poincare（最喜欢的数学家）：Michelangelo(oil painting,sculptor, architect，最man的艺术家)Tchaikovsky(classical music)Frank Lloyd Wright(modern architecture，流水别墅)

Galois：van Gogh(oil painting)Debussy(classical music，格洛腾迪克motif,topi的海洋升起的感觉来自德彪西印象派音乐)

Abel：Cezanne(oil painting，格洛腾迪克的motif来自塞尚的印象派,最欣赏的印象派)Schubert(classical music)

Grothendieck：Picasso(oil painting)Stravinsky(classical music)Ludwig Mies van der Rohe(modern architecture,少就是多，用最少的表达最多的)

Witten：Dali(oil painting，最好的超现实派，类似超弦)Shostakovich(classical music，最喜欢的古典音乐家)Rich ard Meier(modern architecture)

作者: 酒哥    时间: 2015-5-16 21:32
[八卦怪谈] 一些对数学领域及数学研究的个人看法（九）数学乱弹一


作者：wcboy


数学是人类智力强度和难度最高的学科，你可以随便对其他学科夸夸其谈而主观地争论对错，但是没多少人可以或有资格谈论高端或高难度的数学。有人说理论物理的智力要求可以与数学媲美，我想理论物理最难的部分就是依靠着某些高端数学，实际上理论物理不是比美高端数学，而是显耀高端数学的强悍。

物理的idea如果脱离了数学化，就和哲学和艺术一样随便供路人蹂躏，尤其是被民科沦陷。理论物理的数学部分是唯一抵抗民科的利器。就算一个物理idea“正确”，没有数学支持，也就是一个儿童文学。民科可以得到一个正确或合理的idea，但还是不能提供正确或合理的数学构造。就像任何人可以赌对一个只有两个选项（即便多个选项）的数学猜想，这毫无难度，但这些人就可以比美数学家了吗？因此，正确的idea并不是物理成功的最主要部分，数学构造才是最重要的部分。如果没有数学支持，爱因斯坦成不了名，这就是爱因斯坦感叹数学对物理的支配，而牛顿、拉格朗日、威腾等人主动或被迫成为数学家的原因，因为数学家没有办法给他们提供更强的工具去支持物理进步，也就是说数学的进展落后于物理的要求。当今就是一个数学的进展落后于物理的要求的时期。爱因斯坦是幸运的，有黎曼给他提供工具，量子学家是幸运的，有伽罗华和李给他们提供工具。超弦学家（或别的什么学家if超弦失败）是不幸的，因为现在数学家天赋不够，没有庞加莱和牛顿级别的天才，不能提供厉害工具，所以威腾只好亲自上阵来给数学家示范上课。就算威腾的超弦最终错了，但威腾还是比那些有正确物理idea的民科要有价值多了，因为民科始终不明白没有数学的正确物理idea不比垃圾好多少。

数学没了，人类只能活在原始部落中。现代科学的发展是物理在彰显数学的荣耀。数学永远是人类智力挑战的顶峰。从历史角度观之，物理和数学互相推动，有时你先，有时我先，可以远到阿基米德的工作。


作者: 酒哥    时间: 2015-5-16 21:42
[八卦怪谈] 一些对数学领域及数学研究的个人看法（十）
数学乱弹二


作者：wcboy


数学人中不少人抗拒给数学家排名，给数学分支的重要程度分类。这种思想就是和稀泥，这不是一种健康思想。当然排名不一定非得说出来，藏在心里也行。实际上这反映个人的数学品味，深度和把握数学趋势的能力。

高斯、阿基米德和牛顿是数学史top3的看法还深深扎根广泛人群中。这些人要么非数学研究者（95%数学系的学生不在数学研究者之列），要么偏执或偏科数学研究者。

任何数学人物的成就评价都是随数学进展而呈现动态特征。一个二十一世纪的评价怎可以还停留在20世纪甚至19世纪以前的状况呢？如果在二十世纪以前，这个top3论还可以勉强存在，那么现在再如此，只能说明现代数学从来没有在这些人心中存在。数学的进展及未来可能进展不断地调整数学家的地位。

拓扑学、非欧几何、复几何、抽象代数和代数几何的出现明显提高了庞加莱、黎曼和伽罗华的地位，数学上最重要的进展全都在微积分诞生以后。所以阿基米德不再属于top3了。

牛顿参与微积分创建和经典力学的奠定抬高了地位，牛顿的物理学地位不能全算进来，毕竟物理还不完全从属于数学，况且微积分不是牛顿一个人作为第一创作者，阿基米德、费马、莱布尼茨都参与了，并且分析学上最强的大师不是牛顿而是欧拉，欧拉才是微积分草创阶段的第一大师，草创时期比的是谁的无穷级数功底厉害，况且欧拉其他非物理方面的数学远强于牛顿，比如拓扑学、复分析的先驱。

高斯top3地位现在还是可以保留的，但绝不是绝对第一，硬要排，也轮不到他，应该是黎曼或庞加莱。以伽罗华之才，高斯也是不能比的，高斯20岁出了不起的数学成就，但不能与伽罗华19岁出群论比，如果伽罗华活得与高斯同样长寿，那么top3里就没有高斯什么事了。论数学洞察力天才，高斯不如伽罗华，论数字计算天才，高斯不如印度的拉马努金，甚至欧拉。高斯靠的是全面不是深刻（与那些厉害的人相比而言）。伽罗华虽然只有一个成就，但就是这个自己独立支撑的成就使他吃遍数学江湖鲜有敌手。有人说他是偏才，我想如果伽罗华活长一点就可以证明他是全才，因为群论可以通吃代数，几何的。伽罗华的错，是他远远领先他的时代和高斯和他不珍惜自己的生命。伽罗华和庞加莱一样，几乎以一人之力开创一个数学最重要的一个主力构造，高斯没有一个成就比得上。

高斯虽然参与草创了微分几何和非欧几何，但只黎曼的非欧才是真正集大成者，他几何平行公理的争论转变成数值条件，即数学的计算构造取代公理构造。黎曼的复值单值化更是有用的计算构造技术，黎曼猜想只是黎曼在复几何上的顺手牵羊，另外他也是拓扑学的先驱。

庞加莱，数学成就就不用强调了，要强调的是他是仅物理次于牛顿的数学家，除非威腾能将超弦理论hold住（一旦超弦成了，威腾在物理上的威望将超过爱因斯坦和牛顿，但我本人认为可能性不大，因为正确的拓扑数学工具没有出现）。不像广义相对论，狭义相对论的功劳不能全归于爱因斯坦，庞加莱在这里仅次于爱，他的物理失败之处在于他太认同牛顿了。

很多人强调高斯、牛顿和阿基米德，实际上是强调一种思想站上风，及数学的有用性等同表面的物理应用。难道格洛腾迪克、诺特阿姨的精神没用？显然不是，并且他们也在以某种方式推动物理，这是不在表面。抽象并不等于无用，有些抽象无用是因为时机未到。可以说格洛腾迪克、诺特阿姨的抽象是极其有用的，而其他人的抽象是无用。这就是说抽象有用的程度与人的数学天赋挂钩。大多数人没有格老和诺阿姨的天才去驾驭抽象。

作者: 酒哥    时间: 2015-5-17 10:10
[八卦怪谈] 一些对数学领域及数学研究的个人看法（十一）
数学问题


作者：wcboy


数学问题是数学研究的核心。一个好的数学问题对研究人来说至关重要。对个人而言，好的数学问题不是重要和有名的，而是适合自己的。对数学发展来说，好的数学问题必然是重要的数学问题，但不一定是有名的。

厉害的研究人员都追逐重要的问题。希尔伯特23问题客观上虚抬了希尔伯特的历史学术身价，因为他给很多数学研究人员一个出人头地的机会，大家都感谢他。应该说希尔伯特问题还是不错的，但现在看来，很多问题并不都属一流问题而且有的问题的太泛泛而产生不出有实质重要的东西。并且他的东西有明显的局限性，代数和数论因素远强过几何，这与他的风格和洞察力有关。尽管他的公理化推动了数学抽象的进阶，但他自己的公理化成果实在不敢恭维，格洛腾迪克的抽象和几何能力强他不少。

一个数学问题的重要性有两个方面。一个是问题本身重要，比如黎曼猜想。一个是解这个问题会产生重要的通用构造，比如费马大定理。并不是难解的问题都是一流重要的，比如哥德巴赫猜想。有人会说，不能这么评判问题，因为不知道未解问题背后到底藏着什么。显然这种思想是不对的，首先你要肯定一些大数学家是有鉴赏力的，知道一些问题后面必然不会有大结果，而有的不能确定。有些问题确实背后藏有东西而当前数学界可能没有意识到，就算有些问题被解掉后，数学家没看见一些重要意义的还是有的，因为当今的数学的发展还没能力把这种意义显露出来，比如球装问题，其实球装密度只是一方面，个人认为更重要的是几何上的对称破缺，目前的数学内容和进展还没有能力把它显示出来，其实像四色问题也是如此，完全有很重要的拓扑意义，但解题过程没有把四色问题的重要性给显示出来。庞加莱猜想的解题过程也没有将猜想本身的重要性给展示出来。因此，一个问题不能只看它的解决与否，更重要的是看它如何被解，是否有重要通用方法产生已及这个方法对数学而言有多重要。

有的数学研究者只关注解一个题本身，而不在乎用什么方法。另一类则是关注解题会带来什么方法而不在乎解题，解题只是一个副产品。我想，后一种研究者才是有质量的研究者。假设费马大定理用初等方法解掉，解题人能获得很高历史地位吗？肯定不能。其实像黎曼猜想那样难的问题，就算在初等层面有素数分布pattern，这种pattern也是极端复杂的，不能被初等方法本身消化，只有更难和高端的数学技术才能提取它。就现在看来，一个意义重大难题是不可能只花几页纸就能简单解决的。深刻的问题都要花几十上百页，甚至几篇论文去进行有效地拆解构造和分类。过去一些名题的证明后来被简化，那是一些新的数学构造和idea被搞出来后才行。如果没有这些构造，是不能简化的。如果算上被使用的构造，证明并没有简化。

一般被提出来的都是显式问题，它们最多是一流问题，黎曼猜想、hodge猜想都是最顶级的一流问题，将来某位一流的大师应该可以解决它们。超级巨匠问题基本为隐式，一般人都不知道如何提出，如何开始，如何进行。一般超级问题都是隐藏在一系列问题之中，并不会单独隐藏在一个孤立一流问题里。超级问题解出来后，必然产生重大通用数学构造，比如伽罗华利用解方程来发现群结构，庞加莱利用解n体问题发现拓扑结构，这些结构即使不通过解方程和n体问题一样可以被超级巨匠发现，只需要找到合适自己风格的问题载体。

当今还有超级问题吗？答案不言而喻，那么多一流数学家艰难前进而很多问题没法理解，甚至还发明某些技术去躲避。一流数学大师是没有能力去解决它们的，因为他们没有正确的直觉来导引到那里，不知道合理发问。超级问题只有碰到合适它的超级数学天赋携带者才会被解决。一流大师每个世纪都有不少，一个世纪不产出一个超级巨匠是不罕见的，上个世纪只有格洛腾迪克一个。

因此，提合理的问和发现重要构造的直觉是数学发展中不可缺少的。
作者: 酒哥    时间: 2015-5-17 10:11
[八卦怪谈] 一些对数学领域及数学研究的个人看法（十二）
数学的偏见


作者：wcboy


1）国人的最长久偏见是将做学问跟做人联系在一起。学问好，人品败的最杰出人物不在少数。不少学问大家，献媚权贵，私生活混乱，挤压同行，争名夺利。

2）数学家比较刻板，不问窗外事，不浪漫。这个印象来源于数学家清心寡欲的专注工作，实际上，很多数学家是多心，花心，也在完全不相关的事上倾注不亚于数学的心思和精力。

3）科班出身的偏见。很多有名的大师不是科班出身或科班出身后不在学术圈内。不在学术圈内的人，其成功的代价比圈内人大得多。其实科班出身与否对大家来说不重要，重要的是，你的学习水平要达到超高的专业水平或超出绝大多数数学人。现代数学时期，格罗腾迪克，威腾就是例子，没有经历正规数学专业教育而直接就入高水平学术讨论班或交流。

4）名师出高徒的偏见。名师的主要作用不是出高徒，而是学生通过名师获取更优势的位置。很多人认为黎曼是高斯的学生，也许名义上是，实际上他是独立于高斯的。

5）学术水平与教学水平的正相关。绝大多数数学家是要教学的，但很多大数学家不是一个好老师，甚至口碑很差，有的数学家根本不想教学。数学成就才是数学家的衡量标准而不是教学水平。

6）勤奋工作与数学成就挂钩。数学是一个数学家的职业和兴趣，但每个人花在数学的时间不一样。作为职业，那是被迫工作，作为兴趣，那是主动拥抱。很多数学家有不少数学外爱好，甚至花时间要超过数学，但不妨碍出数学成就。高斯之所以勤奋，那是他半年或一年工作所得成就超过其他数学家一辈子的成就。如果他只要一个大成就的话，他根本不需要勤奋。他勤奋是因为他要成为数学和物理的全才。庞加莱很有规律工作，数学很放松，很保证休息时间，克莱因比他勤奋多了，基本没有休息时间。
过于勤奋容易头脑发僵，不利于思考。数学不需要太勤奋。

7）出成就和环境、工资待遇挂钩。如果一个人这样想，他基本不是出于兴趣对待数学。你出比较出色的成果后，待遇想不上都不行，而不是相反。作为普通教师这样想，是多替自己捞好处。但想成为杰出数学家，这样就玩完。

8）国人对基础科学的偏见。不明真相的绝大多数国人把科学等同于技术，不出经济效益，军事效益，就是无用，论文不产生具体成果就会被认为浪费资源。基础科学不是以为人类经济效益为目标的，做多经济进步是副产品。基础科学是用来探索自然的，不以功利为目的或首要目的，尤其对理论数学家或物理学家具体个人而言。但是现在很多人，包括很多学者，鄙视（应该很多是嫉妒）发SCI论文的人。论文是表现基础科学的唯一形式，重要论文的历史价值远大于有形物质文化遗产。可以理直气壮地说，基础科学就是要浪费资源的，一个文明的社会必须要容忍这种浪费。容忍整体浪费并不等于容忍个人浪费，不合适从事基础研究的个人，不应该在这个位置上呆。

9）过度用他人来励志自己学习数学。这是比较坏的想法，因为你自已没有那个名人等同的条件。纯数学研究行为不应该被鼓励，只要少数精英就够了，其他人就做一般中小学或非研究型学校教师或应用数学去做其他功利性事务就行了。
作者: 酒哥    时间: 2015-5-23 11:15
本帖最后由 酒哥 于 2015-5-23 11:18 编辑

[八卦怪谈] 一些对数学领域及数学研究的个人看法（十三） 千禧年数学难题



作者：wcboy



尽管Clay数学研究所提出七个重要数学难题，但是它们在数学中或数学家心中的分量并不相同。很明显，Riemman猜想，Poincare猜想和Hodge猜想在数学界影响更大，其中Riemman猜想排第一，Poincare猜想次之。

就个人而言，Yang-mills最重要，Poincare猜想次之。这涉及到物理、几何、拓扑、代数和数论的关系及评价问题。

Riemman猜想的直接目标比较狭隘，仅限于数论，就算Riemman直接解决了他自己提出的猜想，这个成就的重要性还比不上他的非欧几何和复Riemman面这两个成就。

Poincare猜想的直接目标也比较狭隘，仅限于拓扑，但拓扑的重要性要高于数论。当然不排除Riemman猜想在解题的过程中得到重要的几何或拓扑构造。解决Poincare猜想没有带来通用拓扑构造令人遗憾，因为它比Riemman猜想更有机会。但这不妨碍比较直接目标。但这个比较会引起代数尤其数论方面人的不满，因为谁不想被关注重视。

制造代数的目的是为几何服务，即便最简单的整数也是为离散几何服务。几何进展是创造代数的源泉，创造一个新代数结构必须为它找到几何新结构。哈代的纯数学无用论现在已经被否定。数学尤其几何仅仅是探索自然的工具而不是现实本身吗？随着物理发展，几何逐渐成为物理底层的解释基石而不是物理的应用，这就意味着几何本身朝着是宇宙的现实的方向发展。绝大多数或最重要的数学巨匠是数学和物理双栖，剩下的他们的成就都能找到物理实现。如果要到达顶级数学深度，必须在几何和物理上作出贡献。

物理的未来在于几何，而最深刻的几何和拓扑正隐藏在当代物理理论的冲突中，Yang-mills正是一个最突出的物理构造，而未来几何拓扑新构造需要通过它来透视。Poincare猜想只是这个纤维丛构造中的一个拓扑大类。现代数学首先面临新拓扑构造强力瓶颈，而它也导致一个新代数瓶颈。因此要求数学家首先要有几何洞察力，然后是代数解析力。可以说，现有所有厉害的数学构造完全无法对付现代物理更高层次困难，顶级物理学家的几何洞察力已经超过顶级数学家，很遗憾，尽管一些一流数学家在进入物理领域，但真的无法理解现代物理。

那些还抱着数学是形而上学的工具思想已经不适应顶级数学工具锻造的要求。没有突破性思想和构造，不可能有重大数学进展。

作者: 酒哥    时间: 2015-5-23 11:24
[八卦怪谈] 一些对数学领域及数学研究的个人看法（十四）数学家和物理



作者：wcboy



数学和物理的纠缠是人类最重要知识财富发展见证。随着时间推移，几何和物理分离认识的观点（即几何形而上物理现实论）会被证明是错误的。从阿基米德、伽利略、牛顿引力、相对论及量子、最后到超弦，物理几何逐渐在底层合并。

在当今理论物理界，为什么Witten、Vafa、Nima和Penrose会被物理人羡慕，因为他们能同时通吃物理和数学。光熟悉数学是不够的，没有好的数学能力或极高的数学鉴别力（比如Weinberg，Coleman，爱因斯坦），没可能作出物理理论重大突破和认识。

最顶级的数学巨匠和某些厉害的准巨匠，没有一个不会对物理作出贡献，直接贡献或他们的理论构造在物理广泛通用的。Poincare，Guass，Newton，Euler，Cauchy，Lagrange、Laplace、Fourier直接双栖，Galois group，Hilbert space， 爱因斯坦-希尔伯特场方程、诺特的物理对称守恒双定理。
当代一些一流数学家也进入物理领域，比如Connes，Atiyah和丘成桐，他们只能说是熟悉物理，而不是较深理解。Connes用noncommutative geometry去构筑量子引力基本被物理学家无视，就如Smolin的loop quantum gravity理论一样，Smolin对几何的理解也不到位。物理的深度和几何的深度是共鸣的，Witten的理解目前来说是最深的。

如果Riemman能活到爱因斯坦时代，他应该比爱因斯坦先明白广义相对论，从他的论文最后文字看，他完全在内心预见了未来物理结构，只可惜没有实验数据来验证。

顶级数学巨匠也给顶级物理巨匠带来巨大挑战和压力，比如Poincare和Hilbert分别先于爱因斯坦得到更加数学形式正确狭义相对论尺缩方程和广义相对论场方程，尽管Hilbert物理理解不到位而Poincare只差毫厘。

到现在为止，gauge theory、量子重整化、拓扑场论的几何困难，对目前已经成名的数学家是无解的。

就个人观点，如果一个数学家试图用公理体系去构筑数学理论，则基本属于江郎才尽。最没用的数学东西就是公理，最有用的是计算构造,Riemman用一个计算构造摧毁了几何的公理体系，但Hilbert又试图建新的，最后失败。Euclidean平行公理的接受度高是因为它符合我们对现实的感觉，但是这种感觉被相对论摧毁。因此数学的构造仍然是讲实用，不实用就没生命力。正是实用限制我们胡乱建公理体系和胡乱抽象化。

作者: 酒哥    时间: 2015-5-23 11:31
[八卦怪谈] 一些对数学领域及数学研究的个人看法（十五）逻辑和哲学的缺陷



作者：wcboy



逻辑在数学中效用被一般人和大多数科学人甚至不少数学家大大地夸大了，认为凌驾于数学之上。数理逻辑被赋予超过它价值的过誉名声。

从他们的文章来看，很多数学大家也只具有自然逻辑的水准，达不到数理逻辑人那种逻辑水平，难道这些人造逻辑强悍的数理逻辑人不比数学大家更有资格和能力获取重大数学成就吗？逻辑强并不等于数学强，相反在某种意义上，强大的习惯化的“人工逻辑”还会阻碍获取重大成就，这显示了逻辑是有缺陷的。

纵观整个数学成就的发展史，在一个重大数学进展中，数学直觉的重要性远远大于逻辑，关键突破总是来自稍纵即逝的灵感。直觉属于异禀的天赋，不是人人都有，而逻辑覆盖范围要广泛的多，而且僵化，天赋要求比较低很多，绝大多数人都有自然逻辑，人工逻辑非常程式化，并不难学，逻辑基本属于后天的。

Godel的工作在本质上宣告了人工逻辑的局限性。逻辑在无穷结构上碰到了它的致命死穴。逻辑不是万能的。逻辑产生于人对实际世界分化的认识，从本质上逻辑也产生于实用而不是高于实用。逻辑自产生起，就与哲学思考天生而自然的混在一起。哲学很大程度上是源于人自身价值观的需要，将初浅的价值观逻辑地与对自然和自身联系在一起。由于自然科学或数学开始的时候过于初浅而原始自然，哲学和逻辑甚至宗教就很容易渗透进来指导。然而更深入的数学进展，哲学和逻辑的割裂认识观的缺陷就被暴露出极大的隐患。如果两个非常主观的哲学人进行逻辑辩论，那么谁也不会被说服，一为逻辑可以诡辩，二为强烈的个人主观偏执狂的排他意识。显然这与数学和物理的要求是背道而驰，哲学没有自我进化功能，如果它否定自己就等于它完蛋。

逻辑和数学都源于实用，那么逻辑就不能凌驾于数学之上，因此数理逻辑那些形而上学的关于数学基础的内容苍白而实际作用基本为零。数学强大的实用不会为数理逻辑的数学基础所累。

数理逻辑只能在数学基本构造被建立后才会发生作用。比如在整数构造被建立后，只有基于整数的计算才有逻辑可言，而不是整数系是逻辑构造的，它是一下子被构造的序结构，不需要逻辑。逻辑只有在计算构造之后才起作用，而不是之前。计算构造源于对合适实用性的直觉。在数学进展中，直觉是第一推动力，逻辑是用来擦屁股的，是用来掩盖发现直觉的，是在拆脚手架，也就是给后来人学习用的。你不了解数学家的直觉，你就不知道脚手架工程是如何搭建的，你就不可能走进数学发现或发明的道路。

直觉就是对复杂性结构的掌控，并在万敌丛中取上将或元帅首级的快速能力，它是反逻辑的。


作者: 酒哥    时间: 2015-5-29 17:36
本帖最后由 酒哥 于 2015-5-29 18:46 编辑

[八卦怪谈] 一些对数学领域及数学研究的个人看法（十六）几何与几何人物



作者：wcboy



几何不如数论，代数和分析等那样细化，多样，抽象和机械化。显然历史上绝大多数数学家对数和抽象数的兴趣远大过对图形。数间关系很容易衍生推进，绝大多数数学家的数的敏感性高于图形洞察力。数比较抽象，而图形是形象的。数学家比较崇尚抽象美。3维空间以下的几何图形所有数学家甚至一般人可以不费力想象，但4维空间以上图形就只有真正的少数几何学家能看出图形门道。这种门道不是高维代数或分析方程或抽象群这样简单到数学家都能知道的东西。

在几何中，代数抽象远不如几何形象重要。如果一个数学家不会在脑袋里想象一个几何图形并看清楚它，他是不可能看到重要的几何构造的。正是这个缺陷阻碍了几何学家在高维图形上取得真正有效的 进步。几何构造比代数少多了，但远比代数构造难度大太多。一个几何重大构造需要一系列重大代数构造来联合表示。这就是在20世纪以前绝大多数数学家只喜欢3维空间中的1维和2维图形的原因，这也是当代数学家对高维代数及微分拓扑绝望的原因。能够看见高维几何结构并有效分析的人一定是超级数学天赋携带者。现代几何拓扑真正在等待一个不世出的巨匠给人展示如何看高维图形。

几何上的历史重大里程碑和巨匠人物。显然，坐标引入和微积分创建及微分方程并非真正地理解几何，它们只是几何的重大代数构造技术。
Euclid的几何原本只是初等几何的大杂烩和粗糙公理体系引入。欧几里得只能是一个引入者和整理者。第一个真正有意识并有效区分不同几何图形者是Apollonius在圆锥曲面上的曲线分类，它的分量贯穿整个几何历史并延伸到现在。

下一个高峰是Gauss，Lobachevsky和Bolyai的非欧双曲几何和Gauss的微分几何创建，Gauss对通用曲率和通用测地线引入才是真正几何构造的重大进展。三人中，只有Gauss才配称巨匠。

下一个高峰是Riemann的非欧几何和复几何。Riemann度量统一了所有经典非欧几何并最终在相对论中成为主宰。Riemann曲面使复几何多值结构在高维实几何中实现单值化，没有Riemann曲面，量子场论没法生存。凭这两个贡献，Riemann是无可非议的几何第一人，甚至数学第一人的候选者。
下一个高峰是Poincare的拓扑学。Euler，Gauss和Riemann都可看做拓扑学的早期引子，只有在Poincare引入同调和同伦后，拓扑结构才算真正创立，因为只有如此，才可能看到高维。但Poincare的基于同调和同伦的拓扑结构只相当于Gauss的非欧或微分几何水准，没有达到Riemann的非欧构造的深度，也就是粗糙拓扑结构。今后拓扑主结构一定是非Poincare构造。

最后一个高峰是élie Cartan，Levi-Civita，Ricci-Curbastro 和Christoffel的微分几何。尽管这个里程碑来得不如前面重要，但也是几何历史绝对里程碑。这些人中只有Cartan配巨匠或准巨匠称号。联络，活动标架，微分形式，和乐绝对补充了Riemann和Gauss在考虑曲率和度量结构遗漏的重大几何特征比如parallel transport。

Klein的Erlangen纲领是一个推动几何发展的重要步骤，但不是里程碑。实际上，两个图形的被认识在几何拓扑上是里程碑，它们就是Mobius带和Klein瓶，由它们引发的几何构造只有在这个世纪才可能认清，不只是非定向性那么简单。

在Cartan以后，个人比较欣赏的几何拓扑贡献来自于Edward Witten，Hassler Whitney，John Milnor，Heinz Hopf，Vaughan Jones和William Thurston。尤其Witten和Whitney。目前物理学家对高维空间的驱动需求远超数学家。数学家卡死在3维和4维流形上，以Simon Donaldson为顶。

Witten凭借其对数学和物理的通吃成为Poincare之后的唯一一个小级别的通才，他的M理论尤其体现了他的雄心，他一直想提升和超越superstring和量子场论中微扰技术的局限，但是他提取有效构造的能力明显也受到他的数学天赋的限制，注定达不到上面那些人的级别，甚至不如Grothendick，但他看到的东西的深度和广度要远超过Grothendick。在当今物理界数学能接近Witten只有Roger Penros。Penros对相对论理解不在Witten之下，天体物理要在Witten之上，但对量子论和凝聚态理解比Witten差太多，对全面物理的理解明显低于Witten。Witten的数学面比Penros要广，尤其代数几何和高维拓扑。但Penros的数学着重点不同于Witten，他研究的东西难度同样不低，也会在未来揭示不下于Witten数学的重要性，或者说他们以不同方式研究相同的数学和物理大结构，只是当代数学家还未意识到Penros重要性。总之他们走在不同方向上，但以后会发现他们之间的联系，不仅物理上，而且数学上。他们都在研究同样美丽的数学结构。

Whitney某些东西在以后的拓扑进展中会展示一些令人吃惊的重要性。其实他得到了某些东西，但他本人以及其他数学家还没完全理解，或者说数学界重视程度不够。

Hopf在某种程度上走在正确的路上，但现在人不能真正有效地推进他的工作。John Milnor在某种程度上也展示了有趣的东西。

下一个数学通才会将拓扑推到Riemann的高度，难度比Riemann大很多，并且很可能要像Poincare那样懂物理，不一定达到Newton高度。Einstein是瘸子，如果没人提供数学，他只能成民科了。

一个重大几何结构必然会覆盖广阔的数学和物理内容，只有天赋全面的超级人物才有能力做出综合判定。超级人物并非一开始就掌握所有数学物理内容。如果如此，看大量的书和论文将极大浪费他的时间，以至于他成为不了未来巨匠。因此，巨匠学习方法是不同于常人的，是边研究边学懂。即使他以前未接触过的内容，当他考虑到一定深度，他就自然理解了，不用看别人的书或概览别人的书（就更不用做大量无意义的浪费时间的习题，那些题根本不如他的课题重要，他只要解课题和课题相关的练手题），靠自己的天赋，理解比别人更深。就如Grothendick那样不需要看多少别人的书，他就写书让别人看。这就是靠天赋做研究的极端式方法，只适合于超级人物。如果你做出来的东西没有增进对已存在的主要数学物理结构理解，甚至粗暴地否定它们，可以说这样的人肯定是民科。因为未来巨匠一定会理解过去和现在巨匠的东西，他们能够进行心灵对话。比如未来巨匠不可能不理解Grothendick的主要构造概览和关键细节，比如Grothendick topology和motives cohomology， 当然他不需要理解所有Grothendick的细节东西，并不是所有东西都合理和有用。

一旦未来超级拓扑结构被弄出来，其包含的内容将远超过Langlands纲领所包括的内容，无论是几何方面或代数方面。这其中蕴含的概念可能与当代有更高层次冲突，并通过合理构造来取代当代概念，尽管从某些外形上可能“民科”（以现在观点），但实际内容大大不同，比现在有更有效更让人理解的实用数学构造，就是更真正增进对物理的理解和用新计算技术解决具体的数学“习题”。

作者: 酒哥    时间: 2015-5-29 17:41
[八卦怪谈] 一些对数学领域及数学研究的个人看法（十七）物理，实验和数学



作者：wcboy



物理理论必须反应实际世界的运行。这是否是说物理模型完全由实验决定？那么历史上最成功的理论物理英雄是如何看待实验和数学在理论物理中的作用的？

我们必须信任实验吗？第一，不少人为拼数据作假；第二，精细而复杂的物理实验完全可能出错而很难发现；第三，有些实验是不可能做的；第四，有些实验都不知道往哪个方向入手；第五，即使实验出来了也不知道怎么处理。因此，要完全依靠物理实验来建立物理模型是不现实的，极其困难的前沿实验不能完全被信任。最厉害的物理大师有选择地捕捉到有价值的实验。Einstein对物理实验就是有选择信任的，比如狭义相对论只选择相信光速实验，而广义相对论基本与实验无关。Dirac的相对性量子模型则完全是数学美学的结果。很多物理学家强调数学美学在物理的极端重要性，比如Weinberg。目前的M理论就不是由实验建立的。

尽管标准模型能解释很多东西，但是物理学家完全靠实验来建立统一广义相对论和量子力学的模型基本上是不可能的，因为实验室的高能限制是非常明显的。实验不可能获取大爆炸的高能条件，即使满足弦论最低要求能量条件都几乎不可能。

自然界中同时存在两个正确而互相矛盾的物理模型，这不是自然界的错，而是物理学家迷失了重大拼图片。引力能否量子化，暗物质与能量能否解释，黑洞内部能否探查和多宇宙的存在性，实验基本不能达到目标。这些丢失的拼图唯有靠数学尤其是几何才能找到。物理模型的冲突在于我们几何理论的重大拼图的迷失，在连续的统一场中如何实现规范场的离散的几何量子化和拓扑化是关键。如果新几何不能完全弄出来，物理学家不可能从理论上解决他们的主要问题。因此，要么数学家弄出来，要么最强的物理学家同时变成最强的数学家。没有数学创造力和领悟力的物理学家在解决最基本的物理冲突中只能靠边站，发灌水论文。

只有整个物理模型建立在几何解释之上，理论物理才能摆脱它的唯象论成分而达到一个统一理论。也就是说，物理必须与几何统一，实验只提供具体参数。

不是所有的实验都是有价值的，不是所有的实验的价值是可辨认的。实验不是检验现实世界的唯一途径。有些现实世界是永远不能被有限实验检验的。在未来，所有理论物理学家都必须是数学家，而数学家不必是理论物理学家。

一个学科只有与数学结合越紧密，则越像一门科学，比如物理，计算机。像生物学那种几乎没有数学深度和门槛的学科，只是唯象论的经验，完全是一个劳动密集型的手工作坊，所以很容易靠枚举型实验发非常多的灌水论文，甚至随便都是“创新突破”一个生物学分支。所谓的交叉科学多半都是忽悠人的学科，它们是大工程而不是科学，数学门槛极低，当然对那些从事的人来说，他们是不会承认数学门槛低的，在他们眼里方程和分析就是高深了。

作者: 酒哥    时间: 2015-5-29 17:51
[八卦怪谈] 一些对数学领域及数学研究的个人看法（十八）菲尔兹与诺贝尔



作者：wcboy



菲尔兹和诺贝尔被研究人员与普通大众推向神坛，获奖人被罩上牛人与神人的光环，在基础研究中具有顶级学术地位。很多人和种族和国家有严重的菲尔兹和诺贝尔情结，以菲尔兹和诺贝尔为基础研究的学术奋斗目标。
所有菲尔兹和诺贝尔获得者之间有不同等级，有些被它们漏掉的人比获奖人更厉害。诺贝尔奖还出现过错误，在多年后闹笑话。菲尔兹和诺贝尔靠少数人添光，比如Einstein，Dirac，Feynman，Grothendieck；而更多的人靠菲尔兹和诺贝尔增光，这些人的等级是不一样的，因此学术人是一定要分等级的。不分等级和谐一团来抹杀更牛人的功绩，一是人品问题（是自己种族就吹，非本族就贬），二是能力问题，三是分支偏心问题（与自己有关就吹，无关就贬）。学术研究不可能每年或每四年就出重大突破，大部分年份是平凡年，大部分情形是将奖项硬性颁发出去。重大突破具有随机性，并且不同人对重大突破的判定标准不同，大部分人将标准降得很低以便囊括尽可能多的人和自己中意的人和分支，或者大部分人因研究深度不够将一些人高估。
当代一流人物不等于历史一流人物，历史一流比当代一流有价值多了。绝大多数当代一流都不可能是历史一流甚至二、三流。每一次里程碑式进展让这些当代一流中的很多的历史价值急剧下降。比如很多分支领域中人造“大问题”在当代来看非常厉害，但以更大范围和更深研究来看，只有少数人才能看出这些人造“大问题”的狭隘。很多艰难无比的东西并不是好东西，这在数论中尤为明显。很多因为理论物理暂时用上的狭隘“重大”特殊几何和代数结构因为物理进展而会在将来的调整中被抛弃。

你可以跟踪菲尔兹和诺贝尔获奖者的研究，但不能将他们用来评判研究厉害程度的标准。当你自己的研究深度不够，你就跟在这些当代潮流后面随大流是有好处的。当你深度很高并以超过那些人时，菲尔兹和诺贝尔的评判标准没有任何意义。就本人而言，绝大部分菲尔兹和诺贝尔的含金量不高。一般人很多，当代一流就是其中，历史超级人物是少数，并且是不用十个甚至五个手指可以数出。因此，做基础研究不能大事宣扬突破创新的口号，一般突破不可能日新月异，甚至不可能十年新百年异，大部分人要安心做垃圾论文，并且要劝退有兴趣激情没能力天赋的不合适的人。

很多人看到基础研究十数年或数十年没重大进展，就下一些基础研究的到顶和超级天才不再出现的论断。历史超级天才百年才几个？甚至一个可能都没有。你活着看不见是正常的。
作者: 酒哥    时间: 2015-5-29 18:05
[八卦怪谈] 一些对数学领域及数学研究的个人看法（十九）基础研究，工程科技，经济发展和研究强国



作者：wcboy



现在基础研究被泛化了，很多工程技术的东西都被冠以基础研究。基础研究主要往理论上靠，研究目标就是要去掉唯象论和经验而被数学化。同一个实验既可以支持理论发展也可以支持工程发展，实验是中立的，因此实验本身不能算基础研究。很多应用数学工具建模的学科与数学没有紧密联系，它们只能是工程技术。只有那些被数学化而变成不可分离的部分时，学科的基础化就越高。

基础研究就是一个学科数学化的过程，其学科本身对数学发展不可缺少。因此金融数学，生物甚至化学都不能是基础研究。只有数学和理论物理（而不是实验物理）是真正的基础研究，想一想理论物理中实验只是其一部分作用，剩下的都是数学。说到底，只有数学才算终极基础研究，因为理论物理最终会变成几何的一部分。

基础研究的目的是理解自然和宇宙，而不是直接去获得经济好处。进行有效基础研究的两个必要条件：对自然秘密的浓厚兴趣，自然赋予的天赋探究才能。

现实是很多没有数学含量的东西都往基础研究上靠，想沾光基础研究以引起世人注意来为自己拉经费和赞助。事实上，数学的研究费用很少，比起其他，可以忽略不计。

一个国家经济强大和先进，主要是它的工程科技的强大，而非基础研究的强大。一个基础研究世界第一的国家，其工程科技不一定世界第一，尽管工程科技要靠基础研究，但它可以应用那些已经存在的基础理论。

一个国家认为经济强大了，就能达到世界领先的基础研究，那是幻想。一个其精英人物从来没有思想自由和对自然渴望探究的基因和传统的国度不可能在基础研究中有太大的作为。即使美国，日本经济上强大，其数学研究比法国，德国，前苏联不如。

一个基础研究强国必须要有几个主要的一流强校和机构和自由思想的体制和崇尚科技的民众，比如普林斯顿高等研究院IAS，巴黎高等科学研究所IHES，剑桥，普林斯顿等。所谓一流强校，必须拥有一流当打之年的学术大师作为招牌。所以基础研究强国主要是比人才，没有几个超级和一流大师撑场，所谓研究强国一流强校就是空谈和笑谈而已。

美国经济这么强大，其本土也没有超级数学巨匠出现过，尽管一流人物不少。Grothendieck们只出现在法国。法国，德国，英国是历史最强的基础研究强国是因为他们人的基因和传统。即使它们退出政经舞台，它们的基础研究仍然不是他国所比。

以前经济不发达，基础研究搞不上去有借口，现在经济进入大国行列，基础研究还是搞不上去，仍然有借口，就是不愿承认自己不行。

Abel很穷没有固定工作还要养他的弟弟妹妹，Galois身处动荡时代，Gelfand身处前苏联，为什么他们能作出成就？现在国内很多人手握有研究巨资和一大帮助手还是无能，同时众多身处底层的研究人员还认为是自己的平穷拖累了自己的研究前途。为什么所有的人都不从自身上找问题而喜欢从外部找替罪羊，国人基因使然。

如果你穷抱怨，那么你可以不结婚，不要小孩，不要做房奴。如果不放弃，那么说明基础研究在你那里不重要，你的兴趣并不大。

如果你手握巨资或者不发愁的工资，你还抱怨，那只能是无能。人不承认自己无能是因为想要更多特权和享受名声。 金钱至上和学而优则仕是国人基因和传统，这样的人群无法在基础研究中有大贡献。基础研究是普世的，而不是特色的。

国内的数学家懂高深物理吗？国内的理论物理学家懂高深数学吗？国内物理人只会方程解析，国内数学人爱好数论。国内就根本没有同时对物理和数学深度理解的基础研究人。这样的环境能出一流人物吗？超级人物就更不用幻想了。为什么国内人要强调基础研究的多人合作？因为掩盖无奈。基础研究不是靠人海战术取胜，一个超级人才强过一大帮一流人才。独立研究是第一，合作是添加剂而已，可有可无。如果你强，合作者拖后腿，而且还有优先权之争。独立研究大问题是基础研究的最高境界。   

一个国家的基础研究很弱而研究人员普遍眼界很低的情况下，从基础研究强国引进人才是非常明智的，这是因为不能直接拥有一流大师就退而其次拥有大师的门徒而间接获取大师的思想和风格。问题是没有自由学术土壤和制度去清理那些特色的传统垃圾，引进也会被同化，比如学术欺诈，造假，抄袭泛滥。一个对知识产权不尊重的国度，基础研究也是不会被国人尊重的。

作者: 酒哥    时间: 2015-5-29 18:35
[八卦怪谈] 一些对数学领域及数学研究的个人看法（二十）精彩的计算



作者：wcboy



计算本身就是数学的核心灵魂，没有计算的数学走不了多远，就变成耍嘴皮的哲学和文学了。历史上有几个精彩的计算篇章，并产生了几个令人叹为观止的计算天才。

在微积分时代，无穷级数和物理的计算竞赛导致了微积分的诞生，催生了一大批历史超级数学家和一流数学家，还有更多的二三流数学家。Euler，Bernoulli家族，Newton， Leibniz， Lagrange，Laplace，Fourier， Eisenstein，Cauchy， Poisson，Gauss， Ramanujan，Dirichlet等等。其中Ramanujan，Euler，Eisenstein和Gauss的计算能力尤为让人叹为观止。无穷级数的计算竞赛是历史上最惊人的计算。

下一个惊人的计算是Galois和Abel在五次方程可解性上的计算，最终导致现代群论的诞生。有限群的计算竞争达到最高潮，这绝对是人类仅次于无穷级数计算竞赛的一次精彩计算。

Poincare在天体力学的单人独力精彩的微分方程计算最终导致了现代拓扑学的诞生。

寻找素数规律的计算也是数学史上精彩的计算。这主要指黎曼猜想的最终形成和基于素数互反律的形成。早期在这上面进行工作的人必须进行大量的手工计算和进行数字观察实验才能提炼出规律，这在没有计算机时代是极端困难的工作。观察大量数字并找出隐藏很深的规律需要极端高的数感，只有惊人的计算天赋才能完成。

Ramanujan和Eisenstein在级数上的工作跟modular form和有限群分类和string theory都发生了联系，主要体现为最大魔群的月光猜想（monstrous moonshine）与超弦的时空维数的联系。这是一个非常美的和值得称赞的数学结果。

当然，本人不认同Gauss对Eisenstein的过誉评价，这可能与Gauss的数论价值取向有关。


作者: 酒哥    时间: 2015-6-6 02:20
[八卦怪谈] 一些对数学领域及数学研究的个人看法（二十一）数学环境



作者：wcboy



对于数学菲尔兹来说，今年不过又是一个平庸之年而已。像J.H.Conway那样的比菲尔兹差么？很多（其实是绝大多数飞奖）数学全面性，创造性数学技术和看数学整体的方式都不如他。女性获奖不过是一个找机会给女性颁奖罢了。真正值得敬佩的女数学家只有一个，那就是Emmy Noether女神，历史上比她强的男人没几个，那都是数学巨兽，艾米她本身也是巨兽。后来者也只有那只不知死活的代数几何巨兽能与之比。平庸的菲尔兹在他们前不算啥，尽管如此那也不是中国数学人所能比的。

为什么中国环境就不能出菲尔兹这种级别的数学家呢，而海外华人倒也有三个，但陶哲轩跟中国文化没有任何关联。中国的历史已经证明了中国的所谓数学奇才最多也就是普通奇才而已，这种级别的奇才需要环境培养，自我培养达不到高级别。中国人（一般是非数学研究人员）总是说中国的大学以前的数学教育比美国和印度强（很少说法国，大概法国不起眼，否则中国非数学人会闹更大笑话，因为他们压根就认识不到世界第一数学强国），这完全是一个不正确看法，好的教育环境是一个整体，不能分割来看，英式教育没有像中国教育那样一股脑地将你不需要的东西全倒给你，压给你那麽多作业，而是让你自己思考，让你选择，那是什么？那是民主，自由和独立思考。看似他们的教育输在起跑线上，其实不然，他们获得了做研究的习惯和方法，对喜欢的，
无论数学物理与否。世界需要那麽多数学家和教授干吗？但一个好的教育保证那是精英的需要。大多数人也就干干不超过算术需要的数学而已，但他们的数学足以帮助他们的其他专长，比如他们能专注地干好专业技工，园艺工，护理，职业运动员，职业演员，作家，艺术家等。这不是很成功的教育吗？干好一门自己喜欢的就行，不是人人都能做数学家，只有数学研究最好的能做。喜欢数学，数学竞赛和考试好，和能做数学， 他们不是一回事。很多不能做数学的人喜欢数学，这类人是什么？反正大学前教育不过通识教育，为考某些专业，很多有能力的人为达到自己喜爱的专业（比如医学，法律，计算机，金融，数学必须高分）他们也会用心去学（尤其很多女生），而且考试成绩不比那些日后数学人低，他们是什么人？那么，什么人会去参加奥数竞赛，那一定是喜欢数学的人（在国外不是中国）。但是所有喜欢数学的人都会奥数？不会，有人怕高强度考试，有人认为既喜欢数学有喜欢物理，还没决定好，那不是更大的天赋吗？但是能做数学有喜欢数学人的考试和奥数再差也是有谱的，只要他参加的话（不是有过比赛第二名嘲笑第一名的笑话吗？历史上谁会记得第一名，但会记得我）。英式教育能一下找到所有数学天才吗？不能，但大部分。因为少部分数学天才同时也是其他天才，还没决定好，这不有选物理，历史，工程，医学，建筑，音乐的多面天才漏网。还有更奇特的，一个数学天才还没发现自己是天才，只是认为自己数学比一般人强而已，多年以后才认识到自己，才从新进入数学圈子。但是英式教育也为这些人留了后门，从新发现他们。中国数学教育环境是这样的吗？不是，那数学课后培训，奥数培训是干嘛？考高分。考高分干嘛？去搞金融，计算机，生物，医生，留校，反正哪钱多安逸往那转，钱，权，美女，资源，还有一部分呢？出国，好主意。出国的大部分干嘛？反正不搞数学。搞数学有么？有，几乎都是国内那几所出国培训名校的。那么中国出国培训名校不是很好嘛，为什么他们要出国？出国好，出国有大师当导师，国内没大师，没办法。出国后再被邀请回来当大人才多好，钱又多，名也有，还可以。。。，当然更重要的还可当大官（查一查就知）。当然，还有极少数寥若星辰的几个在外结果了，真心喜欢数学，不把自己年华浪费在国内。良心好的，老了回来不坑人，不花边，不好的就不说了，都知道。

说了这么，到底就是国内数学教育环境对那些漏网数学奇才又没办法进出国培训名校的（其实进不进无所谓），最佳出路是想尽办法出国，去享受名师或名师高徒的培训，这样才能达到高级别，一个数学奇才数学环境恶劣又没名师指点，是难幻想靠自我培训出名的，对普通数学人就更不可能了，还是安心当数学老师为好，除非高斯、阿贝尔和代数几何巨兽，印度病人级别，中国没可能有这样的人物（有了才能说还要看在现实中存活度）。

对了，印度三哥的数感是比中国人强的，阿拉伯数字也是他们弄的。
还是布尔巴基说实话，数学是纯粹为了人类心智的荣光（说为名，钱，房，权和美女了吗？实在，纯粹，真，感动，书中没有黄金屋，书中没有颜如玉，那些都不是数学）。所以俄罗斯可以有佩尔曼那样的纯粹人，伊朗女人也可以得奖，阿三哥更不赖。汗。

作者: 酒哥    时间: 2015-6-6 02:25
[八卦怪谈] 一些对数学领域及数学研究的个人看法（二十二）数学研究态度



作者：wcboy



从Newton，Leibniz， Fourier等人不管严密先管出结果，到Cauchy，Weierstrass的形式符号严格化，再到Cantor，Dedekind更加严格化，微积分演变到现在变成了（实）数学分析，增加了很多很多计算以外构造性说教性质的晦涩难懂的东西，美其名曰分析。这个东西爽不爽？不爽，逻辑悖论和ZFC不让人爽，Godel就更不让人爽。不爽但有实用，你不能拒绝，不能。说到底，就是如何处理无穷问题，Newton他们都是大忙人，想的问题太多太重要了，脑袋不可能再进一步细化，先用光滑潜无穷小几何形足够得到他们想要结果，就行了，那里还要那么啰嗦，不是吗？如果那时开始啰嗦，现在的物理进步进程就会大大放缓。后来人为了保住成果，就将就搞出一个 (ε, δ)形式化来处理函数化潜无穷。仍然不理想，Cantor，Dedekind就搞出来整数化实无穷。这是一个显著进步，被定格为实分析，最后给它配一个几何化，就是点集拓扑，最重要的就是Hausdorff space，开闭紧。在这里，你看到什么，没有计算的构造性说理分析，实际上最管用的还是 (ε, δ)形式化，只有他管计算。Cantor的成果确实是分析学的最高成果，因为所有数学最终要用数来支撑，我认可。但是Cantor活着时受到了Poincare和Kronecker的攻击，难道后两者疯了吗？不是，Poincare的才华足以压制历史上所有数学家，他的攻击是对的，即使现在他在世，他还会，因为Cantor确实有不爽。所以攻击是对的，承认也是对的。尽管你的代数构造是对的，你要找到大量有效的几何形来为你辩护，不然别人有权不承认你的，甚至将你当民科，Cantor找到一些（Cantor集），后人也帮他找到一些。Hermann Günther Grassmann就没那么幸运了，关键就是当时没有几何物理支撑有远脱离当代数学，不被赏识是非常合理的。想想看Gauss都不敢轻易发表双曲几何，怕民科，因为那种几何要物理测量支撑和应用，他为啥大地测量，疯了，真喜欢搞土地测量上瘾，还不是为他的微分几何和双曲几何找支撑，Gauss研究态度真人也。没的说，再说他也不缺一两个功绩。

数论为什么会被那麽多数学人喜爱呢？主要是爽，没那多废话，不会计算，没有数感，就不要入错行。数论又不爽的吗？有，一下就看懂了，民科都敢勇敢地挑战数学家，摘明珠，还要你承认。


处理无穷问题，我非常欣赏J.H.Conway的Surreal number和Georg Cantor的Transfinite numbers，并且认为J.H.Conway的更好，而且就是对的，但我现在不会支持他们，因为现在没有任何几何物理来逼出他的应用，但我深信将来一定会，也就是他们的未来数学地位一定会比目前高。相比之下，Abraham Robinson的 Non-standard analysis就是垃圾，为什么那么晦涩重复。

所以凡事涉及无穷的东西不要轻易回答，比如民科式连续统研究，去辩论1=0.9999...。但是个人绝不会去欣赏点集拓扑实分析那些东西，更会拒绝ZFC，会接受Godel。

数学的目的就是几何形来配置数和透过形来看数，黎曼猜想不就是这样吗？简单？难？都是又都不是，其实是超级难。
所以，一个论文的被接纳与否，不都是对错问题，即便数学也会如此。高端论文也要接地气才行，不然人家也不认可你，除非你早有地位。从这点讲，格罗滕迪克是幸运的，早早就参加了牛逼辩论班，得到一帮牛人赏识和交流理解，不然那么一大堆新词和用法和那么长的东西，谁愿看，这就是圈子重要性。如果独斗又没名气，那么高端必须接地气，还要被欣赏。一句话，开创工作不是那么容易被接受的，伽罗华，阿贝尔不就是典型吗？很多一波三折，可能还有埋汰的。保守型工作总是容易的和价值少的。数学研究非常不容易，要让同行理解也不是论文到就成功的事，你写上500也有创新名词构造的名头又大又响的论文试试，看多少人看你。所以你要体谅别人的话，短点多次。

作者: 酒哥    时间: 2015-6-6 02:31
[八卦怪谈] 一些对数学领域及数学研究的个人看法（二十三）数学前沿研究



作者：wcboy



如果一个数学人要做出数学上的成就，那么他必须进入数学前沿阵地进行有效歼灭战，解决至少一个有当代影响甚至历史影响的数学问题。数学前沿涉及最难啃而又影响深远的著名大难题（如克雷数学机构提出的七大著名难题）或者艰难的次等的一般性浅层难题（如哥德巴赫猜想），这些都是已知的未知。但是更重要的数学前沿是涉及未知的未知（比如拓扑学和物理领域），这需要你首先发现问题，然后再去解决。

数学前沿是有很多层次的。最低层是那些已经公开在印刷物的最新或较新的数学问题和潮流。中间层是仅仅在数学界的数学家（尤其最厉害的著名或隐藏数学家）之间交换的零碎隐晦数学看法和技巧，他们不出现在公开刊物上。最高层是那些仅存在在最厉害数学家或隐藏数学天才的大脑中的数学问题或模型，并且不为除自己之外的人知道，没有任何传播。

那么一个数学人或初级数学研究人如何进入数学前沿呢？最低要求，如果考自己，那么你就要收集你感兴趣的公开在印刷物去追潮流做公开问题。中级要求，做一个数学大师的研究生，进入数学家（尤其主要数学家）的圈子，这样你就能得到那些没有公开印刷的圈子里流行的不成熟的数学前沿内容。终极要求，如果你是一个超级数学天赋携带者，了解数学全貌，并能发现潮流与未来数学进展的偏差，你能真正知道潜在大进展不在当今潮流内或者你能发现在潮流之外的大东西，在你没做出来前，不想与任何人交流，恭喜你，你很可能会一鸣惊人，如果你接地气的话。

在中国，因为不存在数学物理大师，中国数学人只能在最低层次的数学前沿晃荡。出国以后，你可以在中等层次的数学前沿中受数学大师的指导。因此，这就是为什么中国数学人不能做出大一点的数学成就的主要原因，你所在的人际环境，国家（权力）体制，思想禁锢，传统文化都注定是绊脚石。这就是科学和民主自由体制是相伴相生的原因，科学和民主都是普世的，不承认普世价值的环境不可能出大科学成就。中国数学人没有产生过数学巨匠，所以不可能进入终极数学前沿，中国数学人只能做跟随者。

在数学前沿，你会有非常多的困惑和选择，尤其你进入中层数学前沿阵地，接触了很多外国数学大师之后，你会发现，同一个数学问题可以有不同的思考方式，而且每个都能解决一部分问题，但是这些不同的思维方法又不是相通协调的，你也不知道那个能走通，也许一个都不行，你怎么办？你要自己思考权衡和选择，一旦选错，你基本白费功夫，非常不划算。这时就要靠你自己的数学天赋了，没人能帮你。很多情况下，就是数学道路的选择，不能迷信那些数学大家的方法，他们不是万能的。比如你按对称性来选取不变量，所有不对称的object被归为一平凡极端类，当然这达到了一个完整分类的目的，但是这不能解决你的问题，实际上，那些不对称的类的object数量远比对称的多，如果按某个不对称的不变量，那么对称性的object就是平凡类了，但是这个不对称不变量你找不出来，而且极端困难。实际上这在拓扑学中很普遍，比如亏格拓扑群之类的东西，数论中的素数分布及丢潘图通解，微分几何中也不少，绝大多数极端重要的东西都是不规则的就算他们有某种规律也隐藏很深。

做前沿数学，一定的旧的数学基础知识（比如微积分，数论，非欧几何，代数拓扑，代数几何，群论，环理想）是需要的，但不一定全部挖掘学习，更重要的是你的数学天赋，没有天赋不是寸步难行，而是不能前行。


普通数学家只能研究热点问题追潮流，但潮流不等于高引用，而是厉害数学家的看法。超级天赋携带者追求真正数学发展方向而不随潮流，他们才能做出惊世之功。天赋永远是数学研究的第一要素。所以进入数学前沿，你要估计自己的天赋，否则成民科。

另外，前沿问题的解决决不能平凡化，比如Robinson的 Non-standard analysis完全就是平凡化，在普通数学分析吊上一个无穷外壳，实际没有任何有意义的思想和构造，也不解决真正几何问题和insight，这就是民科行为发生在专业数学人上的例子，另一个例子是模糊数学。一个通用理论构造必须要带来不平凡的东西，一个有意义的计算构造一定要解决一个具体的计算难题。





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