(1)Daniel Quillen:因为和Thom共同证明了有名的Cobordism Theorem,以及他开创了Homotopic Algebra, 定义了Higher K theorem和发现其和Chow group of Scheme的关系, 得到Fields medal.不同于Grothedick, Quillen的工作更具有数学上的价值,他的homotopical algebra至今仍是一个谜,但是越来越多的数学问题都指向了解这个谜是终极的方法,Higer K sheaf 的上同调等于Chow group,这个定理也是充满了神祕的面纱,从1980到2005 没有人开清楚其中的真正的现象.
这次我想介绍一下David Mumford和Phillip Griffith的贡献和我对他们的个人意见.
David Mumford是一个奇才.他有两个主要的工作:
(1)发展了Geometric Invariant Theorem,也就是着名的几何不变量理论,这个理论研究,当有一个群G作用在一个簇X的时候, 怎么样正确的找出X/G(称之为 Quotient by G) 上的scheme的结构.
这个问题听起来很简单,如果只想做 X/G上的拓扑或微分结构,几句话就可以说完, 但是想有一个簇或是 解析结构,就变的复杂,这是代数几何研究模空间的重要工具
几乎所有的模空间的制造都是这种X/G 的形式.比如说曲线的模空间,一个簇裡面的曲线的模空间,向量丛的模空间,霍奇结构的模空间等等等等等等等模空间
(2)曲线和Abelian Variety的模空间的紧化问题:模空间的紧化一直是备受关注的问题，人们想知道几何对象的退化会变成什么样子，Mumford研究上述两种对象模空间的紧化，并证明了对任意几何物件退化的 “Semistable Degeneration”定理，Mumford也对Abelien Group Scheme作了一些贡献，对算数几何起了重大的影响.
Phillip Griffith 相较之下，并没有这么杰出，他也就只做了一系列有关霍奇猜想的工作，他带领了一堆学生和工作伙伴，对霍奇结构的变形理论，和霍奇结构退化时的理论，作了相当的贡献，他主要的动机是想要研究霍奇猜想和Torelli问题.但是他失败了(ps: 霍奇猜想可看成是torelli的特例)他也因此离开了数学界，留下了他的两个著名著作a)和Joe Harris合写的Principles in Algebraic Geometry(b)和他的团队合写的Topic in Transcendal Geometry
在1965-1980这个时期中Pierre Deligne还提出了他的Mixed Hodege Structure，也就是混霍奇结构，是不平滑的簇的霍奇结构.另外Hironaka也证明了Resolution of Singularity的大定理得到非尔兹奖.
(1)Daniel Quillen:因為和Thom共同證明了有名的Cobordism Theorem,以及他開創了Homotopic Algebra, 定義了Higher K theorem和發現其和Chow group of Scheme的關係, 得到Fields medal.不同於Grothedick, Quillen的工作更具有數學上的價值,他的homotopical algebra至今仍是一個謎,但是越來越多的數學問題都指向瞭解這個謎是終極的方法,Higer K sheaf 的上同調等於Chow group,這個定理也是充滿了神祕的面紗,從1980到2005 沒有人開清楚其中的真正的現象.
這次我想介紹一下David Mumford和Phillip Griffith的貢獻和我對他們的個人意見.
David Mumford是一個奇才.他有兩個主要的工作:
(1)發展了Geometric Invariant Theorem,也就是着名的幾何不變數理論,這個理論研究,當有一個群G作用在一個簇X的時候, 怎麼樣正確的找出X/G(稱之為 Quotient by G) 上的scheme的結構.
這個問題聽起來很簡單,如果只想做 X/G上的拓撲或微分結構,幾句話就可以說完, 但是想有一個簇或是 解析結構,就變的複雜,這是代數幾何研究模空間的重要工具
幾乎所有的模空間的製造都是這種X/G 的形式.比如說曲線的模空間,一個簇裡面的曲線的模空間,向量叢的模空間,霍奇結構的模空間等等等等等等等模空間
(2)曲線和Abelian Variety的模空間的緊化問題:模空間的緊化一直是備受關注的問題，人們想知道幾何對象的退化會變成什麼樣子，Mumford研究上述兩種對象模空間的緊化，並證明了對任意幾何物件退化的 “Semistable Degeneration”定理，Mumford也對Abelien Group Scheme作了一些貢獻，對算數幾何起了重大的影響.
Phillip Griffith 相較之下，並沒有這麼傑出，他也就只做了一系列有關霍奇猜想的工作，他帶領了一堆學生和工作夥伴，對霍奇結構的變形理論，和霍奇結構退化時的理論，作了相當的貢獻，他主要的動機是想要研究霍奇猜想和Torelli問題.但是他失敗了(ps: 霍奇猜想可看成是torelli的特例)他也因此離開了數學界，留下了他的兩個著名著作a)和Joe Harris合寫的Principles in Algebraic Geometry(b)和他的團隊合寫的Topic in Transcendal Geometry
在1965-1980這個時期中Pierre Deligne還提出了他的Mixed Hodege Structure，也就是混霍奇結構，是不平滑的簇的霍奇結構.另外Hironaka也證明了Resolution of Singularity的大定理得到非爾茲獎.