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标题: 350年的历程：从费马到怀尔斯 [打印本页]

作者: knowhow 时间: 2014-9-18 21:31
标题: 350年的历程：从费马到怀尔斯

已故数学大师陈省身说：“20世纪最杰出的数学成就有两个，一个是阿蒂亚—辛格指标定理，另一个是费马大定理。”当然，20世纪的重大数学成就远不止这两个，不过这两大成就却颇具代表性，特别是从科普的角度来看。

费马大定理在世界上引起的兴趣就正如哥德巴赫猜想在中国引起的热潮差不多。之所以受到许多人的关注，关键在于它们不需要太多的准备知识。对于费马大定理，人们只要知道数学中头一个重要定理就行了。这个定理在中国叫勾股定理或商高定理，在西方叫毕达哥拉斯定理。它的内涵丰富，从数论的角度看就是求不定方程（即变元数多于方程数的方程）X2 + Y2 = Z2 的正整数解。中国在很早已知（3，4，5）是这个方程的一个解，也就是32+42=52，其后也陆续得到其他解，最后知道它的所有解。这样，一个不定方程的问题得到圆满解决。

在这长达350年历史大剧中，先后出场的有数学家费马，数学大师欧拉、柯西、高斯等，很多人都是奋斗多年无功而返、泪洒数论之战场，不要说普通人折兵征途，就连大数学家也是屡遭失败，只好放弃，望题兴叹。

但是在这个过程中也涌现了一大批的勇士，有身兼理论创新与试验大师的库默尔；也有提出证明的新思路的，被誉为“法国历史上知识最为高深的女性”的苏菲·热尔曼；有因失恋想去自杀，在自杀之前看到与费马难题有关的证明中一个错误，最后不但放弃了自杀的念头，还捐款奖励第一个证明费马猜想的人。还有日本数学界的新秀数学家谷山丰与志村五郎提出的对取胜具有决定性意义的“谷山——志村”，其中包含了许多感人的故事。

从费马说他给出了一个证明，而人们却没有找到他的证明，到众多人物与各种知识之间的相互关联关系的揭示，到有人不断提出新的证明思路与新的猜想，这些变化和剧情发展就像是一部情节跌宕起伏的电视连续剧。特别是当剧中的第一男主角怀尔斯出场时，更是使剧情达到了一个新的高潮。他在10岁时看到了一本书，书中的一个难题深深地吸引了他。从那一时刻起，怀尔斯就想做一个揭开难题之谜的英雄。他一个人秘密地，勇敢地向这个世界难题发起了冲击，他没有向外透露要进军“费马猜想”的任何信息。连他的老师和朋友都不知道。经过七年多的努力，他终于攀上了顶峰，但是仍然还有一关，在考验着他。审稿人在他的证明中发现了些许瑕疵，而几经周折，都没有解决，他几乎决心要宣布证明失败。就在最后的时刻，他找到了解决问题的办法。大戏的最后一幕更加精彩！

费马大定理最终被成功证明，大戏落下帷幕，留给人们的是一段耐人回味的历史与书中那些传奇人物的传奇故事。

☆       费马大定理的由来。
☆       费马与他同时代的数学家为证明费马猜想所做的尝试。
☆       费马大定理引无数英雄竞折腰！
☆       350年来人们为攻克费马大定理所做的努力。
☆       关于十万马克奖给“证明费马大定理的人”背后的故事。
☆       怀尔斯10岁就被“费马猜想”吸引——“我永远不会放弃它，我必须解决它!”
☆       为证明费马猜想怀尔斯卧薪尝胆准备了多年。
☆       他从前人研究的结果看到了问题的关键与前进的方向。
☆       他为什么要完全独立和保密地进行费马大定理的研究？
☆       怀尔斯准备怎样宣布他的研究结果？
☆       怀尔斯的证明经过严格的审稿程序，被发现有少许的瑕疵。
☆       怀尔斯又花了十四个月修改完善了他的证明。
☆       我确信自己在正确的轨道上，但那并不意味着我一定能达到目标。
☆       会下金蛋的鹅：希尔伯特第十问题
☆       怀尔斯下一步还想研究什么难题吗？

被称之为“会下金蛋的鹅”已经寿终正寝，人们在问数学发展是否缺少了一种力量，其实旧的难题并未全部解决，何况在前进的道路上还会不断出现新的难题。

费马大定理的由来

我发现了许多非常美妙的定理。 ——P.费马

关于费马大定理，我们知道它是数学中一个重要的定理。这个定理在中国叫勾股定理或商高定理，在西方叫毕达哥拉斯定理。学过平面几何的人都知道，设a、b为直角三角形的直角的两条边长，则斜边的边长c跟a、b满足关系式c2 = a2 + b2 。




中国人称它为“商高定理”，因为在古代的数学书籍《周髀算经》里记载古代数学家商高谈到这个关系式。

更多的人称它为勾股定理，这是因为在《周髀算经》》中记载着“勾三，股四，弦五”，并且讨论了它们与直角三角形的关系，之后的著作中也有其他的勾股数。如《九章算术》中还有（5，12，13），（7，24，25），（8，15，17）等7组数。　
      　

在西方，上述公式称为毕达哥拉斯定理，这是因为西方的数学及科学来源于古希腊，古希腊流使下来的最古老的著作是欧几里得的《几何原本》，而其中许多定理再往前追溯，自然就落在毕达哥拉斯的头上，要知道毕达哥拉斯被推崇为“数论的始祖” 。

如果勾股定理的公式c2 = a2 + b2中的 a ，b ，c未知数，是第一个不定方程（即未知数的个数多于方程的个数）也是最早得出完整解答的不定方程，它一方面引导到各式各样的不定方程，另一方面也为不定方程的解题程序树立了一个范式。    　


十七世纪法国数学家费马，其实他的职业是律师，他学的专业虽然是法律，但他对数学却有着浓厚的兴趣，业余时间他喜欢读数学方面的书，并做一些数学的研究工作，他在好几个数学分支领域都有一些重要的成果。因此被人们称之为“业余数学家之王”。

      费马习惯在读书时在书上圈圈划划，并在页边写下一些批注与心得。大约是在公元1637年前后，费马在阅读巴歇（CBachet）校订的希腊数学家丢番图的《算术》一书时，第2卷第8题讨论的求解x2 + y2 = z2 的一般解的问题，他在该题旁边的空白处，潦草地写下了几句话：“反过来说不可能把一个立方数分拆为两个立方数的和，一个四方数分拆成两个四方数之和。更一般地，任何大于二的方数不能分拆为同样方数的两个数之和。”接着费马又附加了一个评注，“我确信，我已发现了一个绝妙的证明，只是页面的空白太小了，写不下整个证明。”

如果用数学语言来表达，费马的结论是：“xn + yn= zn 当 n > 2时，没有正整数解。” 数学家的思想方向是推广，所以他想求证的在一般情况下，这个猜想是否正确。费马原以为自己证明了对于所有n≥3的情形，这个方程(不妨称为费马方程)都没有正整数解，实际上，他的方法只证明n＝4的情形，而且他并没有写出完整的证明过程。不过，这个他没有证明的定理还是被称为费马大定理。

公元3世纪希腊数学家丢番图发表了一部长篇巨著《算术》。这部13卷的著作，经过1700多年的漫长岁月，流传至今的只有六卷。丢番图在这部著作中对整系数代数多项式方程进行了专门的研究，对代数与数论的发展有非常重要的的贡献。后人为纪念他，把整系数代数多项式方程称为丢番图方程。

对于丢番图方程，数学家们最感兴趣的是它是否有整数解（或自然数解）。对于简单的方程这是很容易找到答案的，比如x2＋y2＝z2有整数解（早在3000多年前，我国古代的数学家就知道这个方程的一组解：即勾三股四弦五）； 2x－2y＝1则没有整数解（因为方程的左边为偶数，右边却为奇数）。但对于一般的丢番图方程来说，判断它是否有整数解却是一件极困难的事。

人们不相信费马已经证明了这个定理，1670年费马去世之后，他的儿子萨缪尔（Samue1）把费马的著述、书信连同其父的批注校订的巴歇第二版的丢番图的著作一起出版了，但都没有发现费马大定理的证明。这样费马是否真的证明了这个猜想，就成了一个难解之谜。

谁都没有想到，这样一个看似简单，又很容易理解的定理，证明的过程却是异常地困难。许多数学家都曾试图去证明它。然而都只是部分地解决了这个问题。在此后的三个多世纪里，费马大定理一直是世界数学界最为关注的焦点，它吸引许多数学家为完成费马猜想的证明付出了极大的努力。

350年过去了，依然未能给出一个正确的证明。费马大定理是困扰数学家们时间最长的一个问题——被公认为有史以来最著名的数学猜想。他对数学家的智力提出了一个极大挑战。在研究这个问题过程中，它也促进了数学的发展，特别重要的是它推动了代数数论乃至整个数学的进步与发展。　

费马与他同时代的数学家为证明费马猜想所做的尝试

在费马提出这个猜想来后，他自己和他同时代都曾经都试图证明这个猜想。费马逝世后，学术界为了表示对它的重视，1816年法国科学院首次为费尔马大定理设立了大奖。当时有很多顶尖的数学家，像欧拉、柯西等都曾热衷于这个问题。　





尝试者的脚步和进展

首先让我们来看看人们向费马大定理发起冲击的记录。

N=4 的证明

费马在给他的朋友的信中，曾经提及他也证明了N=4 的情况。但没有写出详细的证明步骤。但是费马确实创造了“无穷下降方法”。

1674年，贝西是在费马给出的一点提示下，给出了这个情形的证明。证明步骤主要使用了“无穷递降法”。

费马的证明

定理　方程 x 4 + y 4 = z 2 没有正整数解。

解：假设 (x , y , z) 为一个解并且 HCF（x , y） = 1，y 为偶数，则 x 2 = a 2 - b 2，y 2 = 2ab ，

z = a 2 + b 2，其中 a > b > 0， HCF(a , b) = 1， a、b 的奇偶性相反。

由于 x 2 = a 2 - b 2 是奇数，得a 必定是奇数，b 必定是偶数。另外亦得 x 2 + b 2 = a 2，再从此得。 x = c 2 - d 2 ; b = 2cd ; a = c 2 + d 2，其中 c > d > 0，HCF(c , d) = 1，c、d 的奇偶性相反。

因而 y 2 = 2ab = 4cd(c 2 + d 2)，由此得 c、d 和 c 2 + d 2 为平方数。

于是可设 c = e 2 ; d = f 2 ; c 2 + d 2 = g 2，即 e 4 + f4 = g 2。换句话说 (e ,f , g) 为方程 x 4 + y 4 = z 2 的另外一个解。但是，z = a 2 + b 2 = (c 2 + d 2 )2 + 4c 2d 2 > g 4 > g > 0。即是说如果我们从一个z 值出发，必定可以找到一个更小的数值g 使它仍然满足方程 x 4 + y 4 = z 2。如此类推，我们可以找到一个比g 更小的数值，同时满足上式。

但是，这是不可能的！因为z 为一有限值，这个数值不能无穷地递降下去！由此可知我们最初的假设不正确。所以，方程 x 4 + y 4= z 2 没有正整数解。（证毕）

推论：方程 x 4 + y 4 = z 4 没有正整数解。

解：假如 (x , y , z) 为该方程的解，则 (x , y , z 2 ) 将会是方程 x 4 + y 4 = z 2 的解。这是不可能的！（证毕）

N = 3 的情况是瑞士数学家欧拉在1770年给出的，可是在细节上还有点缺憾。

德国数学家高斯完成欧拉的证明。他引入了复整数的概念，即形如 a + b 根号-k，其中 a、b 为整数，k 为正整数。

而N = 5的情况则是在经历了半个多世纪，一直到1823年至1825年才首次完全证明。大定理对当时的数学家是一个最大的挑战。

女数学家提出的新思路

在早期尝试解决费尔马大定理的英雄豪杰里有一位巾帼英雄，她是德国的苏菲·热尔曼（1776-1831）。她小时候是一个很害羞、胆怯的女孩，靠自学阅读和研究数学。由于当时女姓在数学上受到歧视，她就用一个男性化名“勒布朗先生”与一些大数学家通信，其中包括高斯和勒让德，她的才能使得这些一流的数学家大为惊讶。




1806年拿破仑入侵普鲁士，热尔曼拜托一位法国将军保证高斯的安全。得到特殊照顾的高斯这才知道她的真实身份，否则，她对费马大定理的杰出贡献恐怕就被永远记在那个“勒布朗先生”的头上了。　

热尔曼提出将“费马定理”分成两个情况：

（i）n 能整除 x、y、z。

（ii）n 不能整除 x、y、z。

热尔曼的定理是说“如果p是一个奇质数，且2p+1也是质数，那么对于n=p，费马最后定理的第1种情况成立”。热尔曼初步完成了n=5的证明。

N = 5 的证明

法国数学家勒让德（Legendre，1752——1833）在1823年，证明了n = 5。

德国数学家狄利克雷（Dirichlet 1805——1859）在1828年独立地证明了n = 5。

在1832年他又解决了n = 14的情况。

N = 7 的证明

法国人拉梅 Gabriel Lamé （1795 - 1870） 1839 年，证明了 n = 7。

1847 年，在巴黎科学院宣布完全证明了“费马最后定理”。由于该证明未能滿足“唯一分解定理”，故证明无效。

费马大定理引无数英雄竞折腰

怀尔斯知道，在冲击费马大定理的过程中，有许多不成功的记录。费马猜想的提出者费马在从提出猜想直到他去世的30年中都没有能够解决这个问题。还有数学家欧拉给出的N=3证明也不是完全正确的，后来还是由数学大师高斯补充完成的。还有数学家拉梅、柯西、宫冈洋一等数学家也都遭遇过失败。

仅在1909年到1911年这三年间就有一千多篇论文，提出各种证明都因为种种原因而被否定。350年来有人为此废寝忘食。

在索菲·热尔曼的突破性工作之后，法国科学院设立了一系列的奖，包括金质奖章和3000法郎的奖金，以奖励能最终揭开费马大定理神秘面纱的数学家。

由于热尔曼已经告诉数论家们怎么去攻克完整的一批素数。14年后，法国人加布里尔·拉梅作出了一个突破性工作。他对热尔曼的方法作了一些补充，证明了n=7。拉梅宣布他差不多就要证明费马大定理了，几个星期后他会发表一个完整的证明。另一位大数学家奥古斯汀·路易斯·柯西（Augustin Louis Cauchy）也紧随其后说，要发表一个完整的费马大定理的证明。

库默尔是一位高级的数论家，他分析了柯西和拉梅敢于透露出来的少数细节。对库默尔来说，他很清楚，这两个法国人正在走向同一条逻辑的死胡同，他在给刘维尔的信中，简要地叙述了他看法和拉梅和科西的证明不成立的理由。

5月24日，有人宣读了一份声明，结束了种种推测，既不是柯西也不是拉梅，而是约瑟夫·刘维尔在科学院发表讲话，刘维尔宣读了德国著名的数论专家数学家恩斯特·库默尔（Ernst Kummer）的一封信，震惊了全体听众。一封来信粉碎了他们的信心。在让两位数学家感到羞耻的同时，库默尔也证明了费马大定理的完整证明是当时的数学方法不可能实现的。这是数学逻辑的光辉一页，也是对整整一代数学家的巨大打击。

拉梅感到耻辱的同时，他意识到如果早一点将自己的工作更为公开一些，也许他早就会发现错误了。而在柯西则仍然拒绝承认失败，因为他认为自己的证明方法与拉梅是有所不同的。三个星期后他们宣布了放弃了。

等到索非·热尔曼、勒让德、狄利克雷、加布里尔·拉梅等几个法国人再次取得突破时，距离费马写下那个定理已经过去了将近200年，而他们才仅仅又证明了5次幂和7次幂。他研究了欧拉、热尔曼、柯西、拉梅、库默尔的工作。他希望自己能从他们的错误中学到一些有用的东西，可是他也遭遇到库默尔曾面临的同样的问题。

1941年，雷麦证明当 n < 253747887 时，“费马最后定理”第I 情况成立。

1977 年，瓦格斯塔夫证明当 n < 125000时，“费马最后定理”成立。

1983 年，德国数学家法尔廷斯证明了“莫德尔猜想”，从而推出方程 x n + y n =z n 最多只有有限多个整数解。

代数几何学在解决费马大定理起到了非常大的作用。代数几何学是解析几何的自然延续，在解析几何中，我们用坐标方法通过方程来表示曲线和曲面，通常只研究一次、二次曲线，即直线、椭圆、双曲线及抛物线。三次及三次以上的曲线一般就不再仔细研究了。

代数几何与解析几何的一个主要不同点是，解析几何用次数来对曲线和曲面分类，而代数几何学则用一个双有理变换不变量-亏格来对代数曲线进行分类。通过亏格g ，所有代数曲线可分为三大类：　　g=0:  直线、椭圆、圆锥曲线； g=1:  椭圆曲线； g>=2  其他曲线，特别是费马曲线。　　

费马曲线的亏格，所以对n>=4的费马方程， g>=2，

1929年英国数学家莫德尔（Lewis J. Mordell）提出著名的猜想：亏格的代数曲线上的有些点数目只有有限多个。1929年西格尔证明 g>=2 亏格的代数曲线上的整点（即坐标均为整数点）数目只有有限多个。当然，一般有理数的数目要比整点数目多得多。

1983年，德国数学家法尔廷斯证明了莫德尔猜想。他的证明用到了多位数学家的成果。他的结果被认为是上世纪的一个伟大定理，他因此而获得1986年的菲尔兹奖。从莫德尔猜想我们推出：如果xn + yn = zn有非平凡的互素的正整数解，那么解的个数只有有限多个。希斯-布朗利用莫德尔猜想，证明了对于几乎所有的素数，费马大定理成立。

由于莫德尔猜想的证明，数学家看出了一系列猜想最终可导致证明费尔马大定理。

1986年，两位数学家里贝特和梅休尔出席伯克利的国际数学家大会时，在一家咖啡馆巧遇。里贝特说起正在试图证明的椭圆方程，以及他一直在探索的实验性策略。梅休尔一边品着他的卡布其诺咖啡，一边听着里贝特的叙说。他突然停下咖啡，用确定无疑的口吻说：“难道你还不明白？你已经完成了它！你还需要做的就是加上一些M-结构的γ-0，这就行了。” 确定无疑的，世界上只有极少数的人能在随便喝杯咖啡的时候想出这一步。

宫冈洋一冲击《费马大定理》又一次以失败告终

1988年，日本数学家宫冈洋一曾对外宣布他证明了“费马大定理”！
1988年3月8日，当怀尔斯读到宣布费马最后定理已被证明的头版标题时，大吃一惊。《华盛顿邮报》和《纽约时报》宣称东京大学38岁的宫冈洋一（Yoichi Miyaoka）已经发现了这世界头号难题的解法。当时，宫冈尚未发表他的证明，而只是在波恩的马克斯·普朗克数学研究所的一次报告会上描述了它的大概。唐·札席尔（Don Zagier）是听众之一，他总结了数学界的乐观情绪：“宫冈的证明非常令人兴奋，某些人感到有很大可能它是行得通的。它仍然未被肯定，但到目前为止看上去很顺利。”

宫冈在波恩宣布了他的发现两个星期后，公布了详细说明他的共5页证明的代数式，接着就开始了对它的详尽研究。世界各地的数论家和微分几何学家逐行地研究这个证明，寻找逻辑中最细微的缺陷和错误假设的蛛丝马迹。几天之内就有几位数学家察觉到证明中似乎有令人担心的矛盾。宫冈的工作中有一部分会引出数论中的一个特别的结论，而这结论转换回微分几何学中时，与一个早些年已经证明的结果是矛盾的。虽然这并不一定会全盘否定宫冈的证明，但它的确与数论与微分几何学之间的平行论哲学是抵触的。

又过了两个星期，这时格而德·法尔廷斯（他的工作为宫冈铺平了道路）宣布他已准备找出平行论中出现明显破绽的确切原因——逻辑上的一个缺陷。这位日本数学家本质上是一位几何学家，他没有能做到绝对严格地将他的思想转换到他不够熟悉的数论领域。一支数论家的大军试图帮助宫冈补救错误，但他们的努力终告失败。从最初的声明算起两个月后，一致的意见是原来的证明注定是失败的。

对费马最后定理的争论不久就结束了，报界刊登简短的最新更正，说明这个300多年的迷依然没有解决。毫无疑问是由于受到各种媒体报道的影响，在纽约的第八街地铁车站出现了乱涂在墙上的新的俏皮话：xn+yn=zn：没有解。对此，我已经发现一种真正美妙的证明，可惜我现在没时间写出来，因为我的火车正在开来。

理想数的诞生

德国人库默尔（Ernst Edward Kummer1810-1893）1845至1847年间，提出了“分圆整数”、“理想数”、 “正规质数”等概念。他证明当 n < 100 时，“费马最后定理”成立。1857年，获巴黎科学院颁发奖金3000 法郎。

因失恋自杀的德国数学爱好者保罗·沃尔夫斯凯尔在告别世界前看到的一篇文章，改变了他的人生抉择。在1832年他又解决了n = 14的情况。

法国人拉梅 Gabriel Lamé （1795-1870）1839年，证明了n = 7。

1847年，在巴黎科学院宣布完全证明了“费马最后定理”。由于该证明未能滿足“唯一分解定理”，故证明无效。

350年来人们为攻克费马大定理所做的努力

1971年，埃莱古阿计（Yres Hellegouarch），最早把椭圆曲线与费尔马大定理联系起来，然而，符莱（Gerhard Frdy）却是第一个把方向扭转到正确轨道上的人。1985年，符莱证明如果费尔马方程 xn + yn = zn （p为不少于5的素数）有非零解（a，b,，c）即a p+bp=c p，则可设计一条椭圆曲线

y2=x(x+bp)(x+cp)，其中不妨假定为互素的非零整数，显然它是有理数域上的椭圆曲线。

1983年，法尔廷斯证明了莫德尔猜想从而得出当 n > 2 时（n为整数），不存在互质的 a，b，c 使得 an + bn = cn

1983年，史皮娄（Lucien Szpiro）提出史皮娄猜想，并证明由史皮娄猜想可以推出，对于充分大的指数，费尔马大定理均成立。1985年，与塞尔等人提出一系列等价猜想，其中一个称为abc猜想，由它可推出史皮娄猜想。

1986年，格哈德.符瑞提出了“epsilon猜想”：若存在 a, b, c 使得an + bn = cn，即费马大定理是错的，则椭圆曲线y2 = x(x-an)(x + bn) 会是谷山志村猜想的一个反例。

符瑞的猜想随即被肯里贝特证实。此猜想显示了费马大定理与椭圆曲线及模形式的密切关系。

1987年，史皮娄又提出一系列猜想，由它们也能推出史皮娄猜想。这些猜想似乎更容易下手，但至今一个也没有证明。　　

1987年，塞尔由伽罗华表示出发提出一些更强的猜想，称为塞尔强（弱）猜想。由它不仅可以推出费尔马大定理，还可推出许多其他猜想，但这条路最终也没有能走通。　

1995年，怀尔斯和泰勒在一特例范围内证明了谷山志村猜想，符瑞的椭圆曲线刚好在这一特例范围内，从而证明了费马大定理。

      日本数学家谷山丰在1955年召开的会议上研究了椭圆曲线的参数化问题。一条曲线的参数化对于曲线表示和研究曲线的性质有很大帮助，这在中学学习解析几何时我们就已经看到了。椭圆曲线是三次曲线，它也可以用一些函数进行参数表示。但是，如果参数表示所用的函数能用模形式，（模函数是上半复平面上处处亚纯函数的一类，模形式是模函数的推广），则我们称之为模曲线。模曲线有很好的性质。我们希望任一椭圆曲线都是模曲线，这就是谷山一志村猜想。此后，数学家把证明费尔马大定理化为证明对某一类椭圆曲线，谷山一志村猜想成立。

椭圆曲线

定义:我们称一条亏格数等于1 的非奇异代数曲线为"椭圆曲线"。

简单来说，就是由满足方程y 2 = x 3 +ax + b 的点所组成的曲线，其中 a、b 为任意的有理数。

“椭圆曲线”原本用来研究“椭圆函数”，而“椭圆函数”则用于计算椭圆的周长。事实上，“椭圆曲线”的形状和椭圆形完全不同，到了现在，“椭圆曲线”已被独立地研究。

我们可以看椭圆曲线的许多应用,,例如在“编码理论”和“密码学”等领域上。

谷山——志村猜想建立一个关键的“联系”

两个数学家的相识是由于对同一个问题的关注。1954年1月，东京大学的年轻数学家志村五郎去系图书馆借一本书，令他吃惊的是，那本书被一个叫谷山丰的人借走了。志村给这位并不熟悉的校友写了封信，几天后，他收到对方的明信片，谷山告诉他，他是在进行同一个计算，并在同一处被卡住了。

一种惊喜的默契顿时产生，两人关注同一个问题，有共同的兴趣并惺惺相惜，之后就开始了对“模形式”的合作研究。“他天生就有一种犯许多错误，尤其是朝正确的方向犯错误的特殊本领。”志村评价他的拍档。1955 年，谷山开始提出他的惊人猜想。

1958年11月17日，刚刚订婚的谷山、这个天才人物突然选择了自杀。谷山在遗书中为他的自杀行为引起的种种麻烦向他的同事们表示歉意。但是并没有讲明自杀的原因，他只是说他这也是按照自己想法去做一件事。而给后人留下了一个谜。几个星期后，他的未婚妻也结束了自己的生命，遗书中写道：“既然他去了，我也必须和他在一起。” 　　

谷山还留下了对数学的许多根本性想法，成为解开费马大定理的唯一一把钥匙：谷山——志村猜想。其后，志村继续谷山的研究，想尽办法去证明他们共同的猜想：谷山—志村猜想，每一条椭圆曲线，都可以对应一个模形式。

30年后，他的伙伴志村目睹了他们的猜想被证实，用克制和自尊的平静对记者说：“我对你们说过这是对的。” 他依然保存着谷山第一次寄给他的那张明信片。

对“谷山——志村猜想”的评价

起初，大多数数学家都不相信“谷山——志村猜想”。在60年代后期，众多数学家反复地检验该猜想，既未能证实，亦未能否定它。

到了70 年代，相信“谷山——志村猜想”的人越来越多，甚至以假设“谷山——志村猜想”成立的前提下进行论证。
弗赖曲线（? 猜想）

发现“谷山——志村猜想”与“费马大定理”之间的关系是里贝特

是肯·里贝特完成了费马与谷山—志村之间的链环，但他也不完全知道怀尔斯暗中进行的工作。

英国数学家怀尔斯正是沿着这一道路，在经过漫长的7年探索，终于在1993年6月取得突破。最终在一九九五年完全证明费尔马大定理。

我想给数学爱好者提出一点自己的建议：数学中有一些看上去很简单的结论，如哥德巴赫猜想、费尔马大定理等要去证明却是非常困难的。许多数学爱好者认为只要有好的“灵感”就能用初等数学的方法或不多的数学工具就能解决世界难题，结果白白花费了许多宝贵的时间。

1929年英国数学家莫德尔（Lewis J. Mordell）提出著名的猜想：亏格的代数曲线上的有些点数目只有有限多个。1929年西格尔证明 g>=2 亏格的代数曲线上的整点（即坐标均为整数点）数目只有有限多个。当然，一般有理数的数目要比整点数目多得多。

1983年，德国数学家法尔廷斯证明了莫德尔猜想。他的证明用到了多位数学家的成果。他的结果被认为是上世纪的一个伟大定理，他因此而获得1986年的菲尔兹（Fields）奖。从莫德尔猜想我们推出：如果xn + yn = zn有非平凡的互素的正整数解，那么解的个数只有有限多个。希斯-布朗利用莫德尔猜想，证明了对于几乎所有的素数，费尔马大定理成立。

由于莫德尔猜想的证明，数学家看出了一系列猜想最终可导致证明费尔马大定理。

我们之所以要让读者了解费尔马大定理的解决整个过程，是希望数学爱好者开始攻克世界难题之前做好充分的准备。如果你真的热爱数学，立志于攻克数学难题，那么应该先学习某一专业的基础知识，了解这一问题的国际研究动态，搞清楚前人的工作，然后再开展自己的研究。

关于“十万马克”奖给
“证明费马大定理的人”背后的故事

人们很关注研究费马大定理的情况，为了加快这项研究的进展，十九世纪时法国的法兰西斯数学院曾经在1815年和1860年两度悬赏金质奖章和三百法郎给任何解决此一难题的人，可惜都没有人能够领到奖赏。

1908年德国一位的实业家保罗·沃尔夫斯凯尔（Paul Wolfskehl)给这个问题注入了新的生命力。




沃尔夫斯凯尔家族以其财富和乐于资助艺术和科学而闻名，保罗也不例外。他在大学里学过数学，他的大部分时间在商业事务上，但是仍与数学家保持着联系，对数论的费马大定理很有兴趣。

沃尔夫斯凯尔迷恋上了一位漂亮的女性，但是遭到了拒绝，这使他倍感沮丧而决定自杀。他是个感情强烈，但是并不鲁莽。他非常谨慎地制定了他的死亡计划和每个细节。他定下了自杀的日子，决定在午夜钟声响起时开枪射击自己的头部。在剩下的日子里沃尔夫斯凯尔依然努力的工作，当然不是数学，而他仍然还是在处理他所有的商业事务。在最后一天，他先是写下了遗嘱，然后给所有的亲朋好友和亲属写了信。由于他做事效率比较高，他很快就把上述所有的事情都做完了，可是这时离午夜还有好几个小时呢。为了消磨这几个小时，于是他就去了图书馆，随手翻到一本数学期刊，很快他就一篇文章吸引住了。这篇文章是库默尔（Kummer）解释为什么柯西和拉梅证明费马大定理的方法为什么是不可行的。那是一篇伟大的论文，适合要自杀的数学家在最后的时刻阅读。不久，他就不知不觉地被这篇经典的论文吸引住了。沃尔夫斯凯尔一行接一行的进行计算，突然他惊呆了，似乎逻辑上有一个漏洞，库默尔提出了一个假定，却未能在他的论证中说明其合理性，沃尔夫斯凯尔不清楚到底是他发现了一个严重的缺陷呢，还是库默尔的假定是合理的。

如果是前者，那么费马大定理的证明就有可能比许多人猜测的容易得多。他坐下来，仔细审阅了那一段不充分的证明，渐渐地全神贯注于作出一个小证明，这个证明或者会加强库默尔的工作，或者会证明他的假定是错误的，在后一种情形，库默尔的所有工作将都是无效的。直到黎明时分发的工作才完成。坏消息，就数学方面而言）是库默尔的证明被补救了，而大定理依旧处于不可达的境界中。好消息是规定的自杀时间已经过了，沃尔夫斯凯尔对于自己发现并改正了伟大的恩斯特·库默尔的工作中一个漏洞感到无比骄傲，因为证明数学题的这个过程让他感受到了成功的喜悦，重新认识到了人生的价值，除了爱情还有其他有意义的事情可以做。数学重新唤起了他生命的欲望。

由于那个夜晚发生的一切，沃尔夫斯凯尔撕毁了他写好的告别信，重新立下了他的新的遗嘱。在他去世时，新遗嘱的被宣读，沃尔夫斯凯尔的家族震惊地发现保罗已经把他财产中的一大部分遗赠作为一个奖，规定奖给任何能证明费马大定理的人。奖金为10万马克。（相当与100万英镑）这是他对这个曾经挽救过他的复杂难题的报答。这就是沃尔夫斯凯尔奖的来历。

数学还是一剂安抚人心的良药，它能使人忘记痛苦，抹平伤口，沃尔夫斯凯尔的失望和悲伤都消失了。

由于经济大萧条的原因，此笔奖额已贬值至七千五百马克，尽管如此，它仍然吸引不少的数学家为之奋斗。这是一个人类历史上卷入人数最多的数学猜想，它带来了许多非常感人的故事。

格廷根皇家科学协会1908年6月27日公布获奖者的条件。有意思的是，这个奖金将授予第一个证明费马大定理成立的数学家10万马克，但对任何能证明它不成立的人则一分钱也不给。

由于所有的数学杂志都刊登了设立沃尔夫斯凯尔奖的通告，在沃尔夫斯凯尔奖宣布后的几个星期内，参与竞争的论文像雪片似地飞到了格廷根大学。

在1909年到1934年期间，格廷根大学数学系主任的埃德蒙兰道教授负责审查申请沃尔夫斯凯尔奖的数学论文。兰道教授发现，由于每个月必须处理放在他桌上的几十份烦人的证明，他的研究工作常常被中断。为了应付这种状况，他发明了一种卸去这项工作担子的巧妙方法。他印了几百张的卡片，上面印着：

亲爱的_____________：

谢谢您寄来的您关于费马大定理的证明的稿件。

第一个错误是在：______ 页 ______ 行。

这使得证明无效。

E.M.兰道教授。

参赛的论文数量多年来继续不见减少，即使在第一次世界大战后，由于高通货膨胀引起沃尔夫斯凯尔奖严重贬值之后也是如此。

怀尔斯10岁就被“费马猜想”吸引——
“我永远不会放弃它，我必须解决它”

安德鲁·怀尔斯1953年出生在英国剑桥，他的父亲是一位研究工程学的教授。怀尔斯在少年时代就对数学很着迷。后来他在回忆中写到：“在学校里我喜欢做题目，我把它们带回家，编写成我自己的新题目。不过我以前找到的最好的题目是在我们社区的图书馆里发现的。”


一天，小怀尔斯在弥尔顿街上的图书馆看见了一本书，就是E·T·贝尔撰写的《大问题》那本书。贝尔在书中写到，“文明世界也许在费马大定理得以解决之前就已走到了尽头。证明费马大定理成为数论中最值得为之奋斗的事。” 讲述了数学史上人们冲击“费马大定理”这个难题一段故事，从300年前数学家费马是如何留下了这个难解的问题，到之后有那么多数学家都在尝试解决这个问题，有很多人都以失败告终，当然在不同的时期都有一定的进展，但是至今仍未解决。

怀尔斯一下子被这本书讲的故事深深打动了，吸引他的是“那个书中唯一还没有被解决的问题”  。10岁的怀尔斯就像是着了魔似的，被费马大定理所吸引，并深深地爱上了数学。

30多年后怀尔斯在回忆起被引向费马大定理时的感觉：“它看上去如此简单，但历史上所有的大数学家都未能解决它。这里正摆着我——一个10岁的孩子——能理解的问题，从那个时刻起，我知道我永远不会放弃它。我必须解决它。”

怀尔斯1974年从牛津大学的Merton学院获得数学学士学位，之后进入剑桥大学Clare学院做博士。在研究生阶段，怀尔斯并没有从事费马大定理的研究。他说：“研究费马可能带来的问题是：你花费了多年的时间而最终一事无成。我的导师约翰·科茨(John Coates)正在研究椭圆曲线的Iwasawa理论，我开始跟随他工作。”

科茨说：“我记得一位同事告诉我，他有一个非常好的、刚完成数学学士荣誉学位第三部考试的学生，他催促我收其为学生。我非常荣幸有安德鲁这样的学生。即使从对研究生的要求来看，他也有很深刻的思想，非常清楚他将是一个做大事情的数学家。当然，任何研究生在那个阶段直接开始研究费马大定理是不可能的，即使对资历很深的数学家来说，它也太困难了。” 　
      　

导师科茨的责任是要为怀尔斯找到一个比较适当的的问题。这个问题在导师科茨看来是有一定价值的，他还要能使学生有兴趣去研究它，同时这个问题还要在三年时间里完成。

科茨说：“我认为研究生导师能为学生做的一切就是设法把他推向一个富有成果的方向。当然，不能保证它一定是一个富有成果的研究方向，但是也许年长的数学家在这个过程中能做的一件事是使用他的常识、他对好领域的直觉，帮助学生选择一个合适方向和问题。而学生在这个方向能走多远，作出怎样的成绩那就是学生自己的事了。”
　

科茨认为怀尔斯应该研究椭圆曲线这方面的内容，这是一个发展前景很好，同时又能用来解决很多问题的数学研究领域。这个决定成为怀尔斯职业生涯中的一个转折点，椭圆方程的研究后来成为他实现梦想的一个非常有力的工具。

就像神话故事那样，怀尔斯在准备攻克这个世界难题的第一步，他学习研究的内容，就如同是他找到的一把神奇的宝剑。

20世纪初，有人问伟大的数学家大卫·希尔伯特为什么不去尝试证明费马大定理，他回答说：“在开始着手之前，我必须用3年的时间作深入的研究，而我没有那么多的时间浪费在一件可能会失败的事情上。”怀尔斯知道，为了找到证明，他必须全身心地投入到这个问题中，但是与希尔伯特不一样，他愿意冒这个风险。

为证明费马猜想怀尔斯卧薪尝胆准备了多年

怀尔斯1974年从牛津大学毕业，获得数学学士学位，之后他进入剑桥大学学习，在这里他获得理学博士学位。

从1975 年怀尔斯开始在剑桥大学，跟随导师约翰·科茨学习，专攻“椭圆曲线”方面的相关理论与方法。因为怀尔斯担心耗费太多时间而一无所获，他“暂时放下了”对费马大定理的思索，开始研究椭圆曲线理论——这个看似与证明费马大定理不相关的理论后来却成为他实现梦想的工具。

怀尔斯说：“上大学之后，我一直在想，历史上许多人把可想到的办法都想到了，最终也没有解决费马大定理，所以，我必须要学习更高深的数学。从研究生阶段，我把更多的精力放在了拓宽自己的视野方面。”

在研究生阶段，怀尔斯并没有直接开始解决费马大定理的问题。他说：“我进入剑桥时，我真正把费马大定理搁在一边了。这不是因为我忘了它，而是我认识到我们所掌握的用来攻克它的全部技术已经反复使用了130年。而这些技术似乎没有触及问题的根本。”  他说：“研究费马可能带来的问题是：你花费了多年的时间而最终一事无成。我的导师约翰·科茨正在研究椭圆曲线的Iwasawa理论，我开始跟随他工作。”

1980年怀尔斯在剑桥大学取得博士学位后，来到美国普林斯顿大学继续研究工作，工作多年之后他成为这所大学的教授。在科茨的指导下，怀尔斯或许比世界上其他人都更懂得椭圆方程，他已经成为一个著名的数论学家，但他清楚地意识到，即使以他广博的基础知识和数学修养，证明费马大定理的任务也是仍是极为艰巨的任务。

20世纪初，有人问伟大的数学家大卫·希尔伯特为什么不去尝试证明费马大定理，他回答说：“在开始着手之前，我必须用3年的时间作深入的研究，而我没有那么多的时间浪费在一件可能会失败的事情上。” 也就是说，证明这个难题是一个很漫长的过程，需要花很多的时间，而且就是花了很多的时间在这个问题上，也不能够保证一定会取得成功。前面有许多试图攻关的人事例就是最好的说明，“投入很长的时间，不一定能成功”就是证明费马大定理这个世界难题的风险所在。

希尔伯特不愿冒这个风险，而怀尔斯与希尔伯特不同，他愿意冒这个险。因为这是他童年的一个梦想，常常萦绕着他的心头，他始终没有放弃过它。“要解决这个难题”是他在人生之初最早立下的一个心愿。他说：“这是我童年时代的恋情，没有东西能够取代它…如果你能够在成年时期解决某个对你来说非常重要的事，那么再也找不出甚么比这更有意义了。”

当然怀尔斯知道，要证明费马大定理，他必须全身心地投入到这项工作，必须做好长期作战的思想准备，他的计划是在十年时间之内。由此可见，这完全不是头脑发热，凭着一种热情与冲动作出的决定，而是一个成熟的科学家理性思考之后做出的决策和举动。

最让人佩服的是，怀尔斯从10岁开始就被费马大定理的魔力所吸引，从那时起他就开始想要解决这个难题。但是他并没有卤莽行动，马上向这个难题发起进攻，而是前后用了大约20年的时间，为最后登顶世界难题的漫长征程做好知识的储备和一切相关的准备。

怀尔斯学习了要解决这个问题所需要的方法和工具，研究了其他人研究的成果，吸取了有用的思想和知识的准备，最后他又用7年时间来完成他的计划。

当记者问他：“当时有一些数学家觉得这个问题很难，或者觉得解决这个问题的希望很渺茫，放弃了，而你坚持了7年。当时着手研究的时候，你把握大吗？是否明知道把握不大也要做？”

怀尔斯说：“从历史上来看，真正的严肃的数学家中，决定研究费马大定理的人并不是很多，因为他们首先要考虑在他们所处的历史条件下，数学的发展是否给他们提供了工具，足够达到解决这个问题的水平。到1986年我决定研究费马大定理，那个时候绝大多数的人认为手中的工具也不够，而我认为是有希望的。” 他否认自己是那种明知不可为而为之的鲁莽的人。他说：“我并不是浪漫的人，而是很现实的，是有把握的。”　他的自信来自他的研究和准备，也来自他的不言放弃的特性。

怀尔斯真正开始研究费马大定理是在他到普林斯顿高等研究院就职之后，一方面因为他具备了必要的科研条件，同时他已经有了一些如何做这件事的想法，还有就是他永远无法放弃的梦想。

1986年，安德鲁·怀尔斯决定向费马大定理发动冲击。他先用18个月的时间，收集了这次战斗所必要的数学工具，而他全面的估计是：接下来要做的，是可能长达10年的专心致志的努力。

他从前人研究的结果看到了问题的关键与前进的方向

对于很多不同的n，费马定理早被证明了，而要证明这个定理在一般情况下也是正确的，仍是一个重要的难题。怀尔斯说“设想你进入大厦的第一个房间，里面很黑。你在家具之间跌跌撞撞，但是逐渐你搞清楚了每一件家具所在的位置。最后…你找到了电灯开关，打开了灯。突然…你能确切地明白你身在何处。”

朗兰兹纲领指明了通向成功的道路

20世纪60年代，普林斯顿数学家朗兰兹提出了一个大胆的猜想：所有主要数学领域之间原本就存在着的统一的链接。如果这个猜想被证实，意味着在某个数学领域中无法解答的任何问题都有可能通过这种链接被转换成另一个领域中相应的问题——可以被一整套新方案解决的问题。

而如果在另一个领域内仍然难以找到答案，那么可以把问题再转换到下一个数学领域中… 直到它被解决为止。根据朗兰兹纲领，有一天，数学家们将能够解决曾经是最深奥最难对付的问题——“办法是领着这些问题周游数学王国的各个风景胜地”。

而这个纲领为那些饱受哥德尔不完备定理打击的，一直想证明费马大定理的人指明了新的通途——根据不完备定理，费马大定理是不可证明的。

怀尔斯后来正是依赖于这个纲领才得以证明费马大定理的：他的证明——不同于任何前人的尝试 ——是现代数学诸多分支（椭圆曲线论，模形式理论，伽罗华表示理论等等）综合发挥作用的结果。

前人研究的结果使他认识到了问题的关键

1983年，格尔德·法尔廷斯 Gerd Faltings)证明了莫德尔猜想，从而得出当 n > 2 时（n为整数），不存在互质的 a，b，c 使得 an+bn=cn。他对理解费马大定理，x n +yn=zn ，当n >2时没有任何整数解，作出了一个重要的贡献。法尔廷斯通过研究不同n 值的几何形状。他在可以证明大定理的方向上取得进展。与每个方程相对应的几何形状是不同的。但是它们确实有一个共同之处，他们都有一个刺破的洞。这些形状是四维的相当像模形式，能够够证明由于这些形状总是有一个以上的洞相联系的费马方程只能有限多个解。而有限多个数可以是只有零个解，或有100万个解或有10亿个解，只要是有限多个解都可以。所以法尔廷斯并没有证明费马大定理，但他至少已经能够排除有无限多个解的可能性。

在怀尔斯的费马大定理的证明中，核心是证明“谷山－志村猜想”，该猜想在两个非常不同的数学领域间建立了一座新的桥梁。

“椭圆曲线”这个名称有点使人误解，因为在正常意义上他们既不是椭圆又不弯曲，他们只是如下形式的任何方程：y2=x3+ax2+bx+c,这里a,b,c是任何整数。它们之所以有这个名称是因为在过去它们被用来度量椭圆的周长和行星的轨道的长度。为了清晰起见。我们将他们称为“椭圆方程”，而不是椭圆曲线。终于认识到模形式确实是极端对称的。

20世纪50年代日本数学家谷山丰首先提出一个有关椭圆曲线的猜想，后来由另一位数学家志村五郎加以发扬光大，这两位日本数学家提出了谷山—志村猜想暗示着：椭圆方程与模形式两个截然不同的数学领域间有着某种很神秘的关系，志村与谷山认为椭圆方程和模形式实质上是完全相同的东西。这使数学界大感震惊，但是当时没有人认为这个猜想与费马大定理有任何关联。

此次的转机是从1985,1986年开始的。在1984年，德国数学家格哈德·符锐（Gerhard Frey）给出了如下猜想：假如谷山—志村猜想成立，则费马大定理为真。符锐1985年断言, 谷山丰-志村五郎猜想(即椭圆曲线都是模的)包含费马大定理。

1986年夏，符锐提出了“epsilon猜想：”：若存在 a, b, c 使得an + bn = cn，即费马大定理是错的，则椭圆曲线 y2 = x（x-an）（x + bn）会是谷山志村猜想的一个反例。紧接着在1986年被肯·里贝特（Ken Ribet）使用塞尔(Serre)的设想证明了。符锐的猜想显示了费马大定理与椭圆曲线及模形式（modular forms）的密切关系。从此，费马大定理就与谷山—志村猜想紧密地联系在一起了，在两者之间建立了一座新的桥梁。如果有人能证明谷山—志村猜想（即“每一个椭圆方程都可以模形式化”），那么就证明了费马大定理。因此证明费马大定理的核心问题就是要证明“谷山——志村猜想”。

而怀尔斯正是根据这个关联，证明了一种模形式的谷山丰猜想是正确的，进而推出费马最后定理也是正确的。

朋友带给他一个信息触发了他的行动计划

怀尔斯回忆说，促使他开始证明费马猜想的行动的是朋友带给他一个信息。“那是1986年夏末的一个傍晚，我正在一个朋友家中饮冰茶。交谈中朋友经意地提到起，里贝特已经证明了谷山－志村猜想与费马大定理间的联系。我感到极大的震动。我记得那个时刻，那个改变我生命历程的时刻，因为这意味着为了证明费马大定理，我必须做的一切就是证明谷山－志村猜想……。我十分清楚我应该回家去研究“谷山——志村猜想。”

怀尔斯望见了一条实现他童年梦想的道路。

在1999年浙江大学举办的一次研讨班上，据上海同济大学陆洪文教授介绍，他是华罗庚先生的弟子。大家都知道华先生解放初期回国，创建中科院数学所，在函数论、典型群、数论三个方向培养了十几名研究员，撑起了我国数学研究的一片天，陆先生说华老60年代中期就建议数论专业的学生们研究模形式，后来的事实表明，这是证明费马大定理的主要工具。陆先生开玩笑说，如果不是文化大革命，证出费马大定理的应该是中国人，遗憾的是，科学没有“如果”，失去的机会不会再来。

他为什么要完全独立和保密地进行费马大定理的研究？

令人难以置信的是怀尔斯是在很保密的状态下开展这项研究工作的，也就是说，费马大定理的攻坚工作是在周围的人完全不知道的情况下，悄悄地进行的。在长达七年的研究过程，要独自面对这样一个世界难题，解决前进道路上所有的问题，这需要多么大的勇气和毅力呀！

看上去是这样一个文弱的书生，他的意志怎么会如此坚强，他的持久力怎么能这么长。


怀尔斯为什么要完全独立和保密地进行费马大定理的研究？而在通讯技术发达，信息交流频繁的现代社会，已经极少有人这么干了。他怎么能保密保得这么久？

有一种普遍的说法，怀尔斯在完全保密的状态下进行专心研究，不让任何人知道他所做的事情，也不与任何人进行交流。在那7年时间里，只有他的妻子知道他在做什么。当记者采访怀尔斯，问起此事，他解释了原因：“其实一开始的时候，我还是告诉了一些同事，但他们知道后，一见到我就不断地问我进展情况，使我感到很大的压力和干扰。所以我觉得还是不要讲出来更好一些。我意识到，要解决这个问题，需要很长很长的时间。在这个过程中不断被人问及，要承受的压力是很大的。就像一个孩子，成长的过程中，如果老是被人问多大了，几岁了，成长中有什么问题？那是很难堪的。我意识到与费马大定理有关的任何事情都会引起太多人的兴趣。你就不可能很多年都使自己能够集中精力做次这个研究，除非你能的专心钻研它，并不被其他人和事干扰和分散注意力，而这一点会因旁观者太多而做不到。” 就这样，他的研究就逐渐地变成了一种秘密的状态。

其实除了这个原因外，对他来说，还有其他人的前车之鉴也是他要努力避免的。最近的一次失败是1988年3月8日，《华盛顿邮报》和《纽约时报》宣称东京大学的宫冈洋一发现了费马大定理的解法，一个月后又不得不宣布收回。

当怀尔斯作出“要完全独立和保密地进行研究”这个重大决定后，他放弃了所有与证明费马大定理无直接关系的工作。任何时候只要可能他就回到家里工作，在家中顶楼的书房里进行研究，通过证明谷山－志村猜想进而证明费马大定理。在长达7年的漫长的征程中，只有他的妻子知道他在做什么。

怀尔斯诡秘的行踪让普林斯顿的著名数学家同事们深感困惑。彼得·萨奈克回忆说：“我常常奇怪怀尔斯在做些什么？…… 他总是静悄悄的，也许他已经‘黔驴技穷’了。尼克·凯兹则感叹到：“对于这次惊天‘大预谋’一点暗示都没有！”肯·里贝特（Ken Ribet) 曾评价说：“这可能是我平生来见过的唯一例子，在如此长的时间里没有泄露任何有关工作的信息。这是空前的。”

彼得·萨奈克是最早得知此消息的人之一，“我目瞪口呆、异常激动、情绪失常 …… 我记得当晚我失眠了”。

300多年来证明费马大定理一直许多代数学家的一个梦想和希望。有很多人在满怀希望冲击它的时候，以失败告终，被碰的头破血流，泪撒战场。其中不乏像高斯、欧拉、柯西这样的数学大家和像丢番图和这样的解题高手。

20世纪初，有人问伟大的数学家大卫·希尔伯特为什么不去尝试证明费马大定理，他回答说：“在开始着手之前，我必须用3年的时间作深入的研究，而我没有那么多的时间浪费在一件可能会失败的事情上。”就是说，证明这个难题是一个很长的过程，需要花很多的时间，而且就是花了很多的时间在这个问题上，也不能够保证一定会取得成功。前面有许多试图攻关的人事例就是最好的说明，“投入很长的时间，不一定能成功”就是证明费马大定理这个世界难题的风险所在。

希尔伯特不想冒这个风险，而怀尔斯为什么愿意冒这个风险？怀尔斯知道，要证明费马大定理，就必须做好长期作战的思想准备，他的计划是在十年时间之内。他与希尔伯特不一样的地方是，他愿意冒这个险。

最让人佩服的是，他从10岁开始就被费马大定理魔力所吸引，他就开始想做此事，但是他并没有马上开始，而是用了大约20年的时间，在做冲击世界难题的准备，他学习和研究了要解决这个问题所需要的方法和工具，做好了知识的准备，最后他又用7年时间来完成他的计划。这完全不是头脑发热，凭着一种热情与冲动，而是一个成熟的科学家理性思考之后做出的决策和举动。他说：“它看上去如此简单，但历史上所有的大数学家都未能解决它。这里正摆着我——一个10岁的孩子——能理解的问题，从那个时刻起，我知道我永远不会放弃它。我必须解决它。”

能够做这样长期的研究，解决大问题是需要顶着相当大的压力的，怀尔斯也是做好了应对这种思想压力的准备。他在接受记者的采访中，谈了自己是如何应对各种压力和解决所遇到的问题的。他说：“当我被卡住时我会沿着湖边散散步，散步的好处是使你会处于放松状态，同时你的潜意识却在继续工作。通常遇到困扰时你并不需要书桌，而且我随时把笔纸带上，一旦有好主意我会找个长椅坐下来打草稿

经过3年不间断的努力，怀尔斯取得了一系列的突破。他将伽罗瓦群应用于椭圆方程式，又将椭圆方程式拆解成无限多个项，然后他证明了每一个椭圆方程的第一项必定是模形式的第一项。

1990年怀而斯发现自己正处在似乎是所有房间中最黑暗的一间中。他在其中摸索了差不多2年之久。他仍然无法证明如果椭圆方程式的一项是模型式的项，那么下一项也应如此。怀尔斯并不气馁，他又坚持了一个年。他开始研究伊娃沙娃的理论（Iwasawa theory），这是分析椭圆方程的一种方法。

经过6年的艰苦努力，怀尔斯相信胜利已经在望。每个星期他都有进展，说明了更新更大族的椭圆曲线一定是可模形式化的。看来好像做完那些尚未解决的椭圆方程式只是个时间的问题了。在这个证明的最后阶段，怀尔斯开始认识到他的整个证明依靠的是利用他几个月前刚刚发现的技术。他开始对自己是否正在以完全严格的方式使用科利瓦金－弗莱契方法提出质疑。

“那一年我工作得异常努力，试图使科利瓦金——弗莱契方法能成功，但是它涉及到许多复杂的我并不真正熟悉的方法。其中有很多很艰深的代数，需要我去学许多新的数学。于是，大约在1993年1月份的上半月，我决定有必要向一个人吐露秘密，而他应该是一位我正在使用的那一类几何方法方面的专家。我需要非常小心的挑选这个我要告知秘密的人，因为他必须保守住秘密。我选择了向尼克·凯兹（Nick Katz）吐露秘密。”

尼克·凯兹教授也在普林斯顿大学数学系工作，认识怀尔斯已经有好几年。尽管他们关系密切，凯兹已经记不得当时在走廊里所讲的每一句话了，他努力回忆起怀尔斯吐露他的秘密时的种种细节：“有一天怀尔斯在饮茶休息时走到我身边，问我是否能一起到他的办公室去——他有些事想和我谈谈。我一点也不知道他会和我谈什么。我和他一起到了他的办公室，他关上了门。他说他认为他将能够证明谷山－志村猜想。我大吃一惊，目瞪口呆——这真是异想天开。”

他解释说证明中有一大部分是依靠他对弗莱契和科利瓦金的工作所作的扩展，但是它是非常专门性的。他对证明中这一高度专门性的部分确实感到没有把握。他想和某个人一起讨论这一部分，因为他需要保证它是正确的。他认为我是帮助他核对的正确人选，但是我认为他为什么特别选中我还有另一个原因。他相信我会守口如瓶，不会告诉别人有关这个证明的事。”

终于有一天，他对妻子说：“我已经解决了费马大定理。” 他终于可以向大家宣布他的工作成果了。他也在考虑，选择在什么地方，用什么方式来宣布此事。刚巧在6月23日，剑桥大学将有一个数论会议，世界上著名数论专家都将聚集在那里。怀尔斯决定在这个会议上，作了一场专题演讲，报告他的研究结果。他选择了在剑桥大学的牛顿研究所宣布自己的成果的另一个原因是，剑桥是他的母校，他曾经是那里的一名研究生。

  怀尔斯准备怎样宣布他的研究结果？

经过7年多的努力，怀尔斯终于完成了谷山－志村猜想的证明，也就是说他成功地证明了费马大定理。现在到了可以向世界宣布他的研究成果的时候了，他将用什么方式来公布这一消息呢？怀尔斯也是有一番考虑并做了精心准备的。他将在剑桥大学的牛顿研究所举行数论学术会议上宣布自己证明了费马猜想的消息。

怀尔斯决定1993年6月21日至23日这三天做一个系列的学术报告，介绍自己的研究成果。他报告的题目是：“模形式，椭圆曲线和伽罗华表示”，每天讲一个部分。事先人们只知道怀尔斯有很重要的研究成果要向大家报告，但并不知道这还是一个重要的宣布“费马大定理被攻克”的新闻发布会。因为不了解这个方面研究情况的人仅从报告的题目，看不出这个报告意味着费马大定理取得了重大的突破。

1993年6月23日，牛顿研究所举行了20世纪最重要的一次数学报告会，演讲者是安德鲁·怀尔斯。大约有两百多位数学家聆听了这一演讲，有很多数学界的重要人物到场。当时会场的气氛很热烈，当大家终于明白已经离证明费马大定理一步之遥时，空气中充满了紧张。

会场中大约有四分之一的听众能够完全懂得黑板上的希腊字母和代数式所表达的意思。还有很多人来这里是为了见证他们心目中的一个具有伟大历史意义的时刻的到来。

他的保密工作做得实在是太好了！直到最后他说完，“这表明费马大定理成立，证毕。” 这时人们才知道他做了一件多么了不起的工作——证明了费马大定理。他以这种方式，带给人们一个惊喜。这是最让人震撼的消息，用这样一种最自然的方式，比那种召开新闻发布会来宣布这个结果要好的多。出奇不意，激动人心。很多听众都被震惊了，困绕了数学家350年的难题就这样被彻底解决了！大家欢欣鼓舞，兴奋的心情久久无法平静。怀尔斯的导师、著名数学家约翰·科茨评价费马猜想的证明说“这是人类智力活动的一曲凯歌”。

怀尔斯在回忆演讲最后时刻的情景：“虽然新闻界已经透漏出有关演讲的风声，很幸运他们没有来听演讲。但是听众中有人拍摄了演讲结束时的镜头，研究所所长肯定事先就准备了一瓶香槟酒。当我宣读证明时，会场上保持着特别庄重的寂静，当我写完费马大定理的证明时，我说：‘我想我就在这里结束’’，会场上爆发出一阵持久的鼓掌声。”

巴里·马佐永远也忘不了那一刻：“我之前从未看到过如此精彩的讲座，充满了美妙的、闻所未闻的新思想，还有戏剧性的铺垫，充满悬念，直到最后到达高潮。”

《纽约时报》在头版以《终于欢呼“我发现了!”，久远的数学之谜获解》为题报道费马大定理被证明的消息。一夜之间，怀尔斯成为世界上最著名的数学家，向世界难题挑战取胜的智力英雄。《人物》杂志将怀尔斯与戴安娜王妃一起列为“本年度25位最具魅力的人”。

最有创意的赞美来自一家国际制衣大公司，他们邀请这位温文尔雅的天才作他们新系列男装的模特。

之后的论文的审查程序与论文瑕疵的修正过程同样是非常富有戏剧性的。

怀尔斯的证明经过严格的审稿程序，被发现有少许的瑕疵。

当怀尔斯宣布他证明了费马大定理后，他就成了全世界媒体报道的中心。《纽约时报》在头版以《最新的欢呼“我发现了！” 古老的数学之谜获解》为题报道费马大定理被证明的消息。一夜之间，怀尔斯成为全世界都在关注的，挑战世界难题的智力英雄。纽约时报在1993年6月29日以“安德鲁.怀尔斯放出数学卫星，350年的古老问题已被攻克”为题发表了相关的专题报导。




《人物》杂志将怀尔斯与戴安娜王妃一起列为“本年度25位最具魅力的人”。

怀尔斯将他的手稿投到《数学发明》，整整一个夏天，他都在焦急地等待审稿人的意见，并祈求能得到他们的祝福。与此同时，对这个证明严格的审稿程序也开始进行。

科学的程序要求任何数学家将完整的手稿送交一个有声望的刊物，然后这个刊物的编辑将它送交一组审稿人，审稿人的职责是对稿件的正确性进行审查，看是否存在错误和问题。由于怀尔斯的论文涉及到大量的数学方法，编辑巴里·梅休尔决定不像通常那样指定2－3个审稿人，而是6个审稿人。200页的证明被分成6章，每位审稿人负责其中一章。

怀尔斯在此期间中断了他的工作，以处理审稿人在电子邮件中提出的问题，他自信这些问题不会给他造成很大的麻烦。

遗憾的是，1993年8月23日，由尼克·凯兹负责审查第3章，他发现了证明中存在的少许的瑕疵。数学的严格性要求怀尔斯无可怀疑地证明他的方法中的每一步都是正确合理的。因此他的证明还需要修改。怀尔斯不得不在巨大的压力之下修正错误。

怀尔斯原以为是一个小问题，很快就能解决，但是谁知道，这个修正的过程，用了14个月，其间几度陷于绝望，想宣布失败。 BBC电视台的科学编辑约翰·林奇说：“我很难想像安德鲁不会是那片数学墓园中的另一块墓碑。”

这次修补证明的工作几乎是在全世界的关注下进行的，据说当时普林斯顿大学的同事们在一起谈论的只有两件事：辛普森案件和怀尔斯的证明。怀尔斯的同事康韦曾在美国公众广播网的访谈中说：“当时我们其他人的行为有点像‘苏联政体研究者’，都想知道他的想法和修正错误的进展，但没有人开口问他。所以，某人会说，‘我今天早上看到怀尔斯了’。‘他露出笑容了吗？’‘他倒是有微笑，但看起来并不高兴。’”

怀尔斯切实地感受到了在众目睽睽下，如果不能及时完成证明的修补工作，要承受怎样的压力。  怀尔斯回忆起那段时光，印象依然是那样深刻，他感触良多地说：“第一个阶段我非常幸福，是在享受那个过程。第二个阶段，我就像置身于大庭广众之下了，在数学界的会议上，许多人不断地问我，我不喜欢这种状态。” 在最绝望的时候，他甚至已经准备好公开承认自己的证明有缺陷。

后来在记者问怀尔斯：“你认为自己是个‘勇敢的人’吗？”，他的回答是：“我只知道这个问题能够解决，并且也希望能够解决。即便我承认我的证明有缺陷，也会有成百上千的人看到希望，看到我们已经有了足够的好的工具，他们会进一步把这个问题解决掉。也许他们会用一些时间，8年，10年，但工具已经有了，方向已经有了。”

在距离妻子的生日还有两周的时候，怀尔斯的妻子对他说，她唯一想要的生日礼物就是一个正确的证明。遗憾的是，两周后，怀尔斯他没能献上这份生日礼物。

随着时间的推移，刚刚欢呼过的人们，又开始担心这次是否能够真正完成对费马大定理的证明呢？过去的300多年，曾有那么多人在尝试给出费马大定理的正确证明的过程中，还没有一个人能够修补好证明中的漏洞。

大多数专家相信漏洞不久可修复, 并且高度评价怀尔斯工作的正确部分。但也有各种议论。著名数学家法尔廷斯994年3月在《科学美国人》期刊上说:"如果它是容易的, 他到现在就该已经解决过了。严格地说, 它被宣布的时候还不是一个证明。"韦尔也在该期刊写到:"我相信他曾有过好的想法去尝试作出证明, 但是证明不在那里。在某种程度上, 证明费尔马大定理像爬埃佛勒斯峰(即珠穆朗玛峰)。如果一个人想要爬上埃佛勒斯峰而在离它百码之近倒下了, 那他没有爬上埃佛勒斯峰。"

怀尔斯的研究非常艰苦。多种尝试, 包括他的学生泰勒(K。Taylor, 英国剑桥大学)1994年春起的协助, 均告失败。 1994年8月11日下午他在苏黎世"国际数学家大会"作大会最后报告时, 未有任何新进展, 会下笔者见他异常憔悴。九月“当泰勒仍然不相信欧拉系统法无可挽回的时候",怀尔斯决定再最后看一眼自己曾用过的环论老想法, 突然在94年9月19日的思维闪电中找到了迷失的钥匙。然后他将此论述告知泰勒, 二人核实细节。

怀尔斯最终完成了历史性长篇论文“模椭圆曲线和费尔马大定理"; 并将支持此文的最后工作细节与泰勒合写成短文“某些亥克代数的环论性质"。1994年10月6日, 他将新证明送给三位同事看, 包括伐尔廷斯。二文受到谨慎的欢迎。最后发表在《数学年刊》第141卷(1995年)，整整占满了全卷, 收稿日期分别标为1994年10月14日和7日。怀尔斯的论文迅速得到国际数学界的承认，并连续获得沃尔夫奖（1996年3月）和[美国]国家科学院奖（1996年6月）。

怀尔斯最后发表的论文[1], 与作者原见到的他1994年10月的预印本（见文[3]中介绍）内容几乎完全相同，但引言部分已全然重写，详细地说明了他的研究历程，也简介了主要数学结果。从此引言中可以看出，怀尔斯本人确是当之无愧的费尔马大定理的唯一证明人。这澄清了前些时少数人的猜疑。引言最后写道:“很高兴感谢剑桥会议后仔细阅读此文部分早期草稿的人，特别是凯兹,他耐心地回答了我在欧拉系统工作过程中的许多问题，并与伊卢西(Illusie)一起审读了该欧拉系统论证。他们的提问引导我发现了问题的所在。凯兹也审听了我在1993年秋的首次改正尝试。我也很感谢泰勒，为了他在深入地分析欧拉系统论证中的帮助。我很感激戴芒德，为了他在准备此文最后定稿时的慷慨帮助。除了他的许多珍贵建议外，其他一些人也作了很有帮助的评论和建议。

怀尔斯又花了十四个月
修改完善了他的证明

怀尔斯原以为这可能又是一个小问题，他很快就能找到补救的办法。可是6个多月过去了，错误仍未改正，怀尔斯面临绝境，他准备承认失败。怀尔斯向同事彼得·萨克说明自己的情况，萨克提醒他，困难的原因很大程度上是在于他缺少一个能够和他讨论问题，并且是可信赖的人。





经过长时间的考虑后，怀尔斯决定邀请剑桥大学的讲师理查德·泰勒到普林斯顿与他一起工作解决证明存在的问题。

泰勒是在1994年1月份到普林斯顿，可是到了9月，问题依然没有解决，怀尔斯准备放弃了。泰勒鼓励他再坚持一个月。怀尔斯决定在9月底作最后一次检查。

就在截止日到来之前两周，1994年9月19日，一个星期一的早晨，怀尔斯发现了问题的答案，他叙述了这一时刻：“突然间，不可思议地，我有了一个难以置信的发现。这是我事业中最重要的时刻，我不会再有这样的经历……它的美是如此地难以形容；它又是如此简单和优美。20多分钟的时间我呆望它不敢相信。然后白天我到系里转了一圈，又回到桌子旁看看它是否还在——它还在那里。”

14个月之后，怀尔斯向《数学年刊》递交了第二份论文，由《模椭圆曲线和费马大定理》和《某些赫克代数的环论性质》两篇组成，这一次人们对证明不再有怀疑了。这两篇论文总共有130页，是历史上核查得最彻底的数学稿件，它们发表在1995年5月的《数学年刊》上。费马大定理的证明也被全世界公认为是20世纪最伟大的数学成就之一。

怀尔斯再一次出现在《纽约时报》的头版上，标题是《数学家称经典之谜已解决》。约翰·科茨说：“用数学的术语来说，这个最终的证明可与分裂原子或发现DNA的结构相比，对费马大定理的证明是人类智力活动的一曲凯歌，同时，不能忽视的事实是它一下子就使数学发生了革命性的变化。对我说来，安德鲁成果的美和魅力在于它是走向代数数论的巨大的一步。”

怀尔斯的妻子终于在第二年过生日时候得到了她想要的生日礼物。记者问“你妻子对这个迟到了一年的生日礼物有什么反应？” 怀尔斯笑着回答：“她比一年前得到这个礼物还高兴。”

怀尔斯终于完成了他少年时代的梦想。他说：“……再没有别的问题能像费马大定理一样对我有同样的意义。我拥有如此少有的特权，在我的成年时期实现我童年的梦想……那段特殊漫长的探索已经结束了，我的心已归于平静。”

经过8年艰苦奋斗和拼搏，他终于向全世界证明了，世界难题并不是不可战胜的，他相信只要努力学习，深入的研究，做好攻关所需要的知识准备，这些难题终究是可以被解决的。

1995年，怀尔斯获得瑞典皇家学会颁发的Schock数学奖，1996年怀尔斯和罗伯特·朗兰兹分享了10万美元的沃尔夫奖，并当选为美国科学院外籍院士。1998年，国际数学家大会在柏林召开时，因为怀尔斯的年龄已经超过了40岁，而菲尔兹奖要求获奖者的年龄不得超过40岁。但为了表彰他对数学作出的巨大贡献，所以大会授予安德鲁·怀尔斯一个菲尔兹特别奖。

我确信自己在正确的轨道上，
但那并不意味着我一定能达到目标。

NOVA：通常人们通过团队来获得工作上的支持，那么当你碰壁时是怎么解决问题的呢？

怀尔斯：当我被卡住时我会沿着湖边散散步，散步的好处是使你会处于放松状态，同时你的潜意识却在继续工作。通常遇到困扰时你并不需要书桌，而且我随时把笔纸带上，一旦有好主意我会找个长椅坐下来打草稿 ……
　

NOVA：这七年一定交织着自我怀疑与成功……你不可能绝对有把握证明。

怀尔斯：我确实相信自己在正确的轨道上，但那并不意味着我一定能达到目标——也许仅仅因为解决难题的方法超出现有的数学，也许我需要的方法下个世纪也不会出现。所以即便我在正确的轨道上，我却可能生活在错误的世纪。

NOVA：最终在1993年，你取得了突破。

怀尔斯：对，那是个5月末的早上。Nada，我的太太，和孩子们出去了。我坐在书桌前思考最后的步骤，不经意间看到了一篇论文，上面的一行字引起了我的注意。它提到了一个19世纪的数学结构，我霎时意识到这就是我该用的。我不停地工作，忘记下楼午饭，到下午三四点时我确信已经证明了费马大定理，然后下楼。Nada很吃惊，以为我这时才回家，我告诉她，我解决了费马大定理。

最后的修正

NOVA：《纽约时报》在头版以《终于欢呼“我发现了!”，久远的数学之谜获解》，但他们并不知道这个证明中有个错误。

怀尔斯：那是个存在于关键推导中的错误，但它如此微妙以至于我忽略了。它很抽象，我无法用简单的语言描述，就算是数学家也需要研习两三个月才能弄懂。

NOVA ：后来你邀请剑桥的数学家理查德·泰勒来协助工作，并在1994年修正了这个最后的错误。问题是，你的证明和费马的证明是同一个吗？

怀尔斯：不可能。这个证明有150页长，用的是20世纪的方法，在费马时代还不存在。

NOVA：那就是说费马的最初证明还在某个未被发现的角落？

怀尔斯：我不相信他有证明。我觉得他说已经找到解答了是在哄自己。这个难题对业余爱好者如此特别在于它可能被17世纪的数学证明，尽管可能性极其微小。

NOVA：所以也许还有数学家追寻这最初的证明。你该怎么办呢？

怀尔斯：对我来说都一样，费马是我童年的热望。我会再试其他问题 …… 证明了它我有一丝伤感，它已经和我们一起这么久了……，人们对我说“你把我的问题夺走了”，我能带给他们其他的东西吗？我感觉到有责任。我希望通过解决这个问题带来的兴奋可以激励青年数学家们解决其他许许多多的难题。

会下金蛋的鹅：希尔伯特第十问题

      1900年，在巴黎举行的第二届国际数学家大会上，希尔伯特做了一次堪称数学史上影响最为深远的演讲，题目是“数学问题”。在演讲中，希尔伯特列举了23个他认为最具重要意义的数学问题，这些问题被后人称为“希尔伯特问题”。解决希尔伯特问题成了许多数学家终生奋斗的目标，在解决这些问题的过程中，源源不断地产生出的“金蛋”为20世纪的数学发展注入了极大的生机。


数学问题是数学中最具魅力的部分之一，也是数学史上许多重要思想的源泉。据说，有人曾建议德国著名的数学家希尔伯特去解决费马猜想，以夺取为这一猜想而设的沃尔夫奖金，希尔伯特笑笑说：“我为什么要杀掉一只会下金蛋的鹅呢？”

在希尔伯特看来，一个像费马猜想这样的数学问题对数学的价值是无可估量的。希尔伯特不仅舍不得“杀鹅”，还怀着极大的热诚为20世纪的数学界做了一回“寻鹅之人”。

      希尔伯特第十问题是一个与解方程有关的问题。在中学时我们就解过许多简单的方程，比如2x－2y＝1，x 2＋y2＝z2。这两个简单方程有一个共同特点，只包含未知数的整数次幂，系数也都是整数，这类方程被称为整系数代数多项式方程。数学家们对这类方程的研究有着漫长的历史。

长期以来，人们对丢番图方程是否有整数解的研究都是针对特定形式的丢番图方程进行的。有没有办法对一般的丢番图方程是否有整数解进行研究呢？或者，是否可以找到一种普遍的算法，用来判定一个任意的丢番图方程是否有整数解，从而一劳永逸地解决这类问题呢？这便是著名的希尔伯特第十问题。这样的问题在数学上被称为判定问题，因为它寻求的是对数学命题进行判定的算法。

希尔伯特是一位对数学充满乐观信念的数学家。他提出这一问题时，没有用“是否存在这样的算法”作为问题的表述，而是直接要求数学家们寻找这样的算法，可见他对存在一个肯定的答案怀有期待。这种期待与他在其他方面对数学的乐观看法一脉相承。

当英国数学家怀尔斯证明了费马大定理的消息传开之后，人们欣喜之余也表示了对这只“会下金蛋的鹅”的寿终正寝多少有些惋惜。

其实人们的担心是多余的，因为这只“鹅”早已有了“鹅子”、“鹅孙”，或者是“鹅姐”、“鹅妹”，它们仍将源源不断地下着金蛋。这正是数学发展的规律。

实际上通过介绍数学上未解的难题，既可以让人们了解未来数学研究的发展方向，也能说明数学已经达到了怎样的水平。

数学的魅力也在于它在不断地解决已知的难题过程中，又不断地发现新的问题。探索未知的世界永无止境，它是一个开放的区间。一个无穷尽的过程。

怀尔斯还想研究什么难题呢？

在发表费马大定理的证明十年后，安德鲁·怀尔斯教授在2005年8月29日再次来到中国访问，在30日在北京大学做题目为《解方程》的公众报告。

虽然费马大定理被证明已经过去10多年了，怀尔斯来京讲学仍然引起人们高度的关注。人们很想知道怀尔斯的生活有什么变化吗？怀尔斯说，他的生活并没有改变。作为一个数学家，他还是像从前一样，早晨起来去办公室，研究新的数学问题。　


　



2005年8月30日证明了费马大定理的怀尔斯教授在北京大学做了题目为《解方程》报告。在一个小时的时间里，他回顾了费马大定理的历史，以及300多年来数学家攻克费马大定理的艰难而又辉煌的历程。然后提出了一些数学领域有待解决的问题，最后结束于abc猜想。

下午3点30分时，怀尔斯伴随着热烈的掌声缓缓走上讲台。他个子很高，身材瘦削，举止文雅，身着深色西装，里面是一件天蓝色的休闲衫衣，灰黄而稀疏的头发盖在略微有点秃的额头上，大概是由于总和比他个矮的人对话，他的背总是微微弓着，他才52岁。在后来的采访中记者可以清楚地看到他聆听问题时从镜片后射出的孩子般的单纯眼神。这单纯背后蕴含着惊人的意志，支撑着他在完全保密的情况下独立完成了最初7年的工作。而回答问题时常带着典型的英国式含蓄微笑，偶尔露出不太整齐的两排牙齿。他说话慢条斯理而缺乏抑扬顿挫，尽管生于剑桥，并分别在牛津大学和剑桥大学完成本科和博士学业，但有着很难和清晰、优雅的牛津(剑桥)腔联系起来的浑浊嗓音，加上现场音响设备的原因，以至于坐在后排的听众很难听清他演讲时说的大部分话。

“我的方法是现代的”

安德鲁·怀尔斯此次中国之行到北京后，将为中国学生作的公众报告。2005年8月30日在北大记者有幸聆听了这次报告并目睹了大师的风采。

学生刘琦问：你为什么要选择这样一个耗时达七八年之久的困难的研究课题?

怀尔斯：不是我选择了这个问题，是这个问题选择了我。。我很小的时候就想过解决这个问题，但数学家们用19世纪的方法进行的尝试已经失败了，当我最后暂时抛下这个命题后，我很不情愿再回头来解决这个问题，太容易就耗尽一生而一无所成，直到我看到了突破，就再也忍不住回头来解决它了。

记者问：“当时有许多数学家觉得这个问题很难，或者觉得解决这个问题的希望很渺茫，放弃了，而你坚持了7年。当时着手研究的时候，你把握大吗？是否明知道把握不大也要做？”

怀尔斯：“从历史上来看，真正严肃的数学家决定研究费马大定理的人并不是很多，因为他们首先要考虑在他们所处的历史条件下，数学的发展是否给他们提供了工具，足够达到解决这个问题的水平。到1986年我决定研究大定理，那个时候绝大多数的人认为手中的工具也不够，而我认为是有希望的。“他否认自己具有那种明知不可为而为之的鲁莽，“所以我并不是浪漫，而是有很现实的把握。”

记者：“您认为当今数学界最有趣的题目是什么？”

怀尔斯：“当然是黎曼假设。”

记者：“你是否现在在研究黎曼假设？”

怀尔斯：“我有时候也考虑这个问题，但是用的时间很少。1986年我开始证明费马大定理的时候，别人发现的方法正好是我擅长的领域，并且是我能够解决的。但迄今为止世界上没有任何人对黎曼假设可以提出什么方向，或属于什么领域，没有人知道，黎曼假设是该由一个数论学家，还是函数论学家来证明。如果破解的工具在数论领域，我当然会用更多的时间来研究。”

怀尔斯：“不，费马不可能解决这个问题。”

记者：“您认为会有别的解法吗？”

怀尔斯：“尽管任何事情都有可能发生，但我还是认为不会有比我更简单的证明了。也许我的证明还可能再简化一些，但关于费马大定理的证明的基本思想和复杂程度是不会变的。”

他描述自己成名后的情况说：“费马大定理让我跟数学界之外的人有了很多接触，体会到别人对数学的感受。我收到世界各地的邀请———包括这一次来北京大学。其间遇到世界各地非常友好的人，我非常高兴，但这样的机会我用的不多。”

谈起对北京的印象，他说：“皇帝居住的故宫比他此前所想像的还要宏伟得多，不过，我不愿意当皇帝，我宁肯做个数学家”。

当安德鲁·怀尔斯即将结束此次北京之行时，他应邀为中国青年报的读者赠言。怀尔斯给中国青年报读者的赠言：“ 我认为中国的年轻人工作非常努力，希望他们勇于追求自己所挚爱的东西，因为对事业的投入和热爱将使他们在前进的途中所向披靡。”

近距离接触费马大定理证明者——怀尔斯，与大师的对话

怀尔斯以一系列有关毕达格拉斯定理和费马大定理的手稿复印件开头，缓缓地介绍了这个数学上“最著明的三个难题（另外两个分别是‘黎曼猜想’和‘哥德巴赫猜想’)”之一的历史，然后用充满数学公式表达的幻灯片展示了他的极少部分证明过程——一系列即便是资深数学家也很难全部理解的符号和推理，他说：“我认为费马极不可能如他所说的那样，在17世纪已经解决了这个难题。”在演讲结束后的接受采访时他再次谈到，“现在这一领域的数学家们都很难相信可以用基础的数学方法来解决这一难题……。数学家们花了350多年时间想尽基础的数学方法，但所有的努力几乎都失败了……我的方法是现代的”。

怀尔斯在报告结束后，又与听众进行了大约40分钟的对话，从中我们可以了解他，选择证明“费马大定理”这个难题的一些想法，以及攻克难题过程中关键的环节和重要的因素。

“再多花5年时间我也不在乎，因为这是我想做的”

问：是否从前人证明费马大定理的努力中得到任何线索？

怀尔斯：我十几岁的时候的确这样认为过，但这之后我再没有，数学家们花了350多年时间想用基础的数学方法解决这个难题，但所有的努力几乎都失败了，所以我必须用现代的方法。

问：您在解决过程中最大的困难是什么？

怀尔斯：最困难的问题是要盘算自己能否在有生之年解决它。我们通常相信绝大多数难题都是可以解决的，但这个问题是否属于那绝大多数呢？有关费马大定理的一个让人头疼的事实是，没有人知道解决它需要多少时间，所以你必须要足够确信这个问题可以在有生之年解决，可以被现存的方式解决，你不会想去解决一个在下一百年也无人可以解决的问题。所以你必须要有信念，在我有生之年被解决的信念。必须要有这种态度，否则你无法投身其中。在真实生活中，我也抱着相似的态度。

问：您是否认为数学是一门神秘的学科？

怀尔斯：和绝大多数数学家一样，我不是哲学家(听众迸发出笑声)。我们做数学因为我们爱做数学，我们几乎不考虑为什么。很多哲学家会问这样的问题：数学是自在的并由数学家发现的，还是数学原本不存在而是由数学家发明的？我所知的每一个数学家都相信数学是自在的，我们只是发现者，但哲学家们可能穷尽一生追问我们是发现了还是发明了数学。

问：您是否认为一些基本数学理论如数论、拓扑学等的训练对各种专业的学生都是有意义的？

怀尔斯：我认为数学对任何人来说都是有益的训练，它是对理性思维和逻辑思维的训练，同时，它培养直觉，要求一定的心理素质。因此，我尤其认为每一个政客都应该学习数学。

问：在发展证明手段方面，您对大学生们有什么建议吗？

怀尔斯：老实讲，我的证明手段很老式，纸和笔，我的同事们能熟练地借助计算机来做演算，但对我来说计算机还是个有点神秘的东西。

问：有什么建议可以给一个爱好数学的人？

怀尔斯：尽可能多地听各种各样的课，最后锁定你喜欢的研究范围，因为你不可能在并不喜欢的领域里耗上八年时间。

问：您认为单独干比合作更好吗？

怀尔斯：我也有过一些合作，但证明费马大定理时我选择单独干。因为我决定把一生都投入进去，而我的合作者也许在两年后看不到成果就离开了，或者他会同时做多个项目，不管怎样我感觉单独干比较好控制……现代数学更需要合作。

问：那你每天花多少时间研究费马大定理？

怀尔斯：我没有计算过，但一醒来我就想到费马，这也通常是我上床以前想过的最后一个问题。

问：您在证明的最初7年间没有研究结果，普林斯顿没有给你施加过压力吗？在中国每个教授都能感到发文章的压力。

怀尔斯：美国的大学教授也会有一定发文章的压力。我在那期间的确没有成果，但之前我有很多文章，于是我攒着没发，而在那7年间陆续发出来，在这点上我有些小技巧。

问：您想过放弃吗？

怀尔斯：放弃吗？没有，我总感觉到我在不断接近，再多花5年时间我也不在乎，因为这是我想做的。

问：您怎样评价费马大定理和它的证明的意义？

怀尔斯：这个难题本身不重要，重要的是因为解决它而产生的数学方法。这些方法对日常生活当然没有直接的意义。”

数年前他在接受美国公共电视网PBS的“新星”NOVA节目采访时也说过，“一个数学问题的好坏几乎全取决于它产生的数学的好坏，而不在于其本身的好坏”。代数数论本来是作为费马大定理的一个解决方案才粉墨登场，而现在其自身却发展成了一个目的——它的创立被认为是19世纪代数学上最大的成就。难怪20世纪最伟大的数学家希尔伯特称费马大定理是一只会产金蛋的鹅。

问：您怎样看待数学的未来？或者说数学的哪个领域将会成为热点？

怀尔斯：数学领域需要解决的问题很多，现存的问题到下个世纪也解决不完，这对数学工作者是个利好消息，而解决这些问题我们需要数学各个分支的思想，如几何、分析、表示论和拓扑学等等，因为它们是互相联系的。

著名华人数学家丘成桐曾说他对数学的理解与他自幼就有的对文史的兴趣是分不开的。

他笑了起来：“就数学而言是的，但就证明费马大定理而言，我从未从文艺中获得灵感。”。就在他们匆忙上阶梯的当头，记者追问了最后一个长问题：“证明费马大定理之后你对生活的意义是否有不同看法？”“是的！”他给了一个坚决的回答！

有另一个记者问“你在证明黎曼猜想吗？” 。他曾经承认费马大定理证明之后有一种“伤感”，一种很难再找到挑战的伤感——如果他的目标是想证明一个又一个猜想的话。“黎曼猜想”是一个具有挑战性的难题。这是个不会有答案的问题，因为即便他真的在为黎曼猜想努力，出于与证明费马大定理同样的原因，他也不大可能让人知道。

安德鲁·怀尔斯说：“这是我儿时的热望，任何事都无法取代。我有着极少人才拥有的特权和恩赐，去追求儿时的梦想。倘若在成年后你能实现它，带来的回报会超越一切想象。解决这个难题让我有失落感，但也让我感到广袤的自由。八年里，我从早到晚为它着魔，这段长期的漂泊终于结束了。我的心灵归于平静。”

摘自《科学时报》，胡惊雷

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